整数规划是线性规划的扩展，其中部分或全部决策变量必须是整数。整数规划广泛应用于生产调度、物流管理、资源分配等领域，特别适用于那些要求解为离散值的场景。本章将介绍整数规划的基本概念、不同类型的整数规划问题，以及相关的求解方法和应用实例。

2.1 概述

整数规划与线性规划的区别在于整数规划中的部分或全部变量必须取整数值。整数规划可以进一步分为三种类型：

• 纯整数规划：所有决策变量均为整数。

• 混合整数规划：部分决策变量为整数，其余为连续变量。

• 0-1整数规划：所有决策变量均为0或1，通常用于表示某些选择是否被采纳。

整数规划的求解较线性规划复杂得多，因为可行解的数量有限且不连续。这使得问题的求解复杂度大大增加，但也使得它能更好地解决某些离散决策问题。

类型	描述	应用场景
纯整数规划	所有变量均为整数	生产调度、项目分配
混合整数规划	部分变量为整数，部分为连续	供应链优化、投资组合
0-1整数规划	所有变量均为0或1	选址问题、决策选择

2.2 0-1整数规划模型

0-1整数规划是整数规划中的特殊形式，其中所有决策变量的取值仅为0或1，通常用于表示是否采取某种行动。例如，在选址问题中，可以使用0-1变量来表示某个地点是否应该建立新的设施。

0-1整数规划的一个典型应用是背包问题（Knapsack Problem），即在容量有限的情况下，如何选择放入背包的物品，使得总价值最大化。这种问题可以通过构建目标函数和约束条件来求解。

Matlab代码示例：

% 定义目标函数（最大化物品总价值）
f = [-60; -100; -120];  % 三种物品的价值（取负表示最小化）

% 定义约束条件
A = [10, 20, 30];  % 背包的容量约束，每种物品的重量
b = 50;  % 背包最大承重50

% 定义变量的边界（0-1整数）
lb = [0; 0; 0];
ub = [1; 1; 1];

% 整数变量索引
intcon = 1:3;

% 使用intlinprog函数求解0-1整数规划问题
[x, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, [], [], lb, ub);

% 输出结果
if exitflag == 1
    fprintf('最优选择：x1 = %d, x2 = %d, x3 = %d\n', x(1), x(2), x(3));
    fprintf('最大化总价值：%.2f\n', -fval);
else
    disp('未找到最优解');
end

上述代码解决了一个简单的背包问题，使用Matlab的intlinprog函数来求解0-1整数规划问题。在这个例子中，我们希望在不超过背包容量的前提下，选择价值最高的物品组合。

2.3 分枝定界法（Branch and Bound）

分枝定界法是求解整数规划问题的经典算法之一。该方法通过将问题逐步分解为更小的子问题，并对每个子问题进行上下界的估计，从而找到最优整数解。分枝定界法的核心思想是在搜索树中进行分枝，同时使用边界条件来剪枝，以减少需要探索的节点数量。

分枝定界法的步骤：

1. 初始化：从原问题开始，将其作为根节点。

2. 分枝：将当前节点的问题分解为多个子问题。

3. 定界：计算每个子问题的上下界，如果某个子问题的解不优于当前最优解，则舍弃该子问题。

4. 迭代：重复分枝和定界，直到找到最优解或证明问题无解。

分枝定界法在实际求解中非常有效，但在某些复杂问题中可能面临计算量过大的问题。为了提高效率，可以结合启发式算法或其他优化手段。

2.4 蒙特卡洛法（随机取样法）

蒙特卡洛法是一种通过随机取样来近似求解整数规划问题的方法。它通过对变量进行多次随机取值，从而找到一个较好的近似解。蒙特卡洛法适用于那些无法通过精确方法有效求解的问题，尤其是在求解时间受限的情况下。

在整数规划中，蒙特卡洛法的应用包括：

• 资源分配问题：通过随机生成多种分配方案，选择其中最优的方案。

• 路径规划问题：在复杂的图网络中，通过随机采样寻找最优路径。

尽管蒙特卡洛法无法保证找到全局最优解，但其求解速度快，适合处理大规模复杂问题，是一种实用的近似求解方法。

Matlab代码示例：蒙特卡洛法求解简单整数规划

% 定义问题参数
num_trials = 1000;  % 随机取样次数
best_value = -inf;  % 初始化最优解
best_solution = [];

% 随机取样求解整数规划问题
for i = 1:num_trials
    % 随机生成0-1解
    x = randi([0, 1], 3, 1);
    % 计算目标函数值
    value = -60 * x(1) - 100 * x(2) - 120 * x(3);
    % 检查约束条件是否满足
    if (10 * x(1) + 20 * x(2) + 30 * x(3) <= 50)
        if value > best_value
            best_value = value;
            best_solution = x;
        end
    end
end

% 输出结果
if ~isempty(best_solution)
    fprintf('最优解（近似）：x1 = %d, x2 = %d, x3 = %d\n', best_solution(1), best_solution(2), best_solution(3));
    fprintf('最大化总价值（近似）：%.2f\n', -best_value);
else
    disp('未找到满足约束条件的解');
end

以上代码使用蒙特卡洛法对一个简单的整数规划问题进行了求解。通过随机生成解，并检查是否满足约束条件，从而找到了一个近似的最优解。

2.5 整数规划的计算机求解工具

求解整数规划问题可以使用多种计算机工具，除了Matlab外，还有以下几种常用工具：

• CPLEX：由IBM开发的优化软件，擅长求解大规模线性和整数规划问题。

• Gurobi：功能强大的数学优化软件，支持线性规划、整数规划和二次规划等多种问题类型。

• GLPK：GNU线性规划工具包，适合求解中小规模的线性和整数规划问题，且为开源工具。

这些工具都有自己的特点和适用场景，选择合适的工具可以大大提高求解效率。

习题 2

在第二章结束后，提供了一些相关的习题，帮助读者深入理解整数规划的建模和求解方法。习题2包括：

1. 生产线调度问题：某工厂有三条生产线，需在每天有限的时间内安排不同的生产任务，如何确定任务分配方案以使总产出最大化？

2. 选址问题：某公司计划在若干城市中选址建设新仓库，已知每个城市的建设成本和对需求区域的覆盖情况，如何选择仓库位置以使总成本最小？

3. 背包问题变体：考虑一个背包问题，其中物品的重量和价值均为整数，且每种物品最多只能选择一次，如何选择物品使得背包内的总价值最大？

通过这些习题，读者可以进一步掌握整数规划在实际中的应用，以及如何利用Matlab和其他工具进行求解。

总结

第二章介绍了整数规划的基本概念及其求解方法，包括0-1整数规划、分枝定界法和蒙特卡洛法等。整数规划在许多需要离散决策的场景中有着广泛应用，尽管其求解复杂度高于线性规划，但通过合适的求解方法和工具，可以有效解决实际中的复杂问题。接下来的章节将进一步探索非线性规划，帮助读者了解更为广泛的优化问题和求解策略。