判断素数的算法的说明

给定一个整数x，判断x是否为素数。算法基本思路如下：让x被2到sqrt(x)除,如果x能被2至sqrt(x)之中任何一个整数整除，那么说明x不是质数，否则是质数。

c语言代码如下：

#include <cmath>

bool IsPrime(int x)

{

    for(int i = 2; i <= (int)sqrt(x); i++)

    {

        if((x % i) == 0)

            return false;

    }

    return true;

}

为什么说“如果x能被2至sqrt(x)之中任何一个整数整除，那么说明x不是质数，否则是质数。”

这个问题归结于这样的命题：

正整数x，设Q=sqrt(x)

1、如果存在一个大于1小于Q的整数可以整除x，则必然存在一个大于Q小于x的整数可以整除x；

2、如果不存在一个大于1小于Q的整数可以整除x，则必然也不存在一个大于Q小于x的整数可以整除x。

先证明第1条

设B是一个整数，1 < B < Q，且B可以整除x。按整除的定义存在一个整数C，使得 B * C = x，必然有C > Q，因为如果C <= Q，则B * C <= B * Q < Q * Q = x。这与B * C = x相矛盾。

再证明第2条

设C是一个整数，Q < C < x，且C可以整除x。按整除的定义存在一个整数B，使得 B * C = x，必然有B < Q，因为如果B >= Q，则B * C >= Q * C > Q * Q = x。这与B * C = x相矛盾。

证毕。