插值与拟合是数值分析中的重要工具，用于处理数据之间的关系，通过构建函数来逼近数据点或填补未知值。插值用于通过已知的数据点来估计未采集的值，而拟合则是通过数据找到一个合适的模型来近似表示数据的趋势。插值和拟合方法在工程、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。本章将介绍常见的插值方法和拟合方法，及其在Matlab中的实现。

5.1 插值方法

插值是通过已知数据点来预测未知点的方法。常见的插值方法包括：

• 线性插值：使用两点之间的线性函数来估计中间的值，适用于数据变化较平稳的情况。

• 拉格朗日插值：通过构建拉格朗日多项式对所有数据点进行插值，适用于少量数据点的情况。

• 样条插值：使用低阶多项式（通常为三次样条）来连接每一对相邻点，保证插值函数的光滑性。

Matlab代码示例：线性插值

% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.3, 3.1, 4.5, 3.8, 5.2];

% 要求插值的点
xq = 2.5;

% 使用interp1函数进行线性插值
vq = interp1(x, y, xq, 'linear');

% 输出结果
fprintf('在x = %.1f处的插值结果为：%.2f\n', xq, vq);

在上述代码中，我们使用interp1函数对数据进行线性插值，求得在x = 2.5处的插值结果。

Matlab代码示例：样条插值

% 定义已知数据点
x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
y = [0, 0.5, 2, 1.5, 3.5, 3];

% 使用样条插值
xx = linspace(0, 5, 100);
vy = spline(x, y, xx);

% 绘制插值结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, vy, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('样条插值示例');
legend('数据点', '样条插值');

在这段代码中，我们使用Matlab中的spline函数对数据进行三次样条插值，并绘制了插值曲线，展示了插值后的平滑结果。

5.2 曲线拟合的线性最小二乘法

拟合是通过建立一个函数来近似表示数据的趋势，以便于数据分析和预测。线性最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和来找到最优拟合参数。

Matlab代码示例：线性拟合

% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1.1, 2.0, 2.9, 4.1, 5.0];

% 使用polyfit函数进行线性拟合
p = polyfit(x, y, 1);  % 1表示线性拟合

% 使用拟合结果预测
xx = linspace(1, 5, 100);
yy = polyval(p, xx);

% 绘制拟合结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('线性最小二乘法拟合示例');
legend('数据点', '线性拟合');

在上面的代码中，我们使用polyfit函数对数据进行了线性拟合，并绘制了拟合曲线。polyfit的第二个参数1表示进行一次多项式（线性）的拟合。

5.3 最小二乘优化与多项式拟合

对于多项式拟合，我们可以通过最小二乘优化来拟合更高次的多项式，以得到更好的拟合效果。尽管高次多项式可能更贴合数据，但可能导致过拟合，尤其是在数据中存在噪声的情况下。

Matlab代码示例：多项式拟合

% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.1, 4.5, 3.7, 6.3, 8.1];

% 使用三次多项式进行拟合
p3 = polyfit(x, y, 3);

% 使用拟合结果预测
xx = linspace(1, 5, 100);
yy3 = polyval(p3, xx);

% 绘制拟合结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, yy3, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('三次多项式拟合示例');
legend('数据点', '三次多项式拟合');

此代码使用了三次多项式拟合数据，通过polyfit函数中的参数3来指定拟合三次多项式，并绘制了拟合曲线。

5.4 曲线拟合与函数逼近

除了多项式拟合，曲线拟合还包括通过不同的函数形式（如指数函数、对数函数）来拟合数据，以找到最合适的模型。例如，在生物学、物理学中，数据可能符合指数增长或衰减模型，通过曲线拟合可以帮助建立合适的数学模型。

Matlab代码示例：指数函数拟合

% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.7, 7.3, 20.1, 54.5, 148.4];

% 定义指数模型并使用非线性拟合
model = @(b, x) b(1) * exp(b(2) * x);
initial_guess = [1, 0.5];

% 使用lsqcurvefit进行拟合
b_est = lsqcurvefit(model, initial_guess, x, y);

% 使用拟合结果预测
xx = linspace(1, 5, 100);
yy = model(b_est, xx);

% 绘制拟合结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('指数函数拟合示例');
legend('数据点', '指数拟合');

在这段代码中，我们使用lsqcurvefit函数对数据进行了指数函数的拟合，并绘制了拟合曲线。通过指数模型，我们可以更准确地表示具有指数趋势的数据。

5.5 黄河小浪底调水调沙中的插值应用

在实际应用中，插值技术常用于水利工程中，例如黄河小浪底调水调沙过程中，需要根据有限的观测数据对流量和水位进行插值估算，以确保工程的顺利进行。通过插值，可以更好地掌握河流中的水沙关系和动态变化，从而为调度决策提供科学依据。

习题 5

在第五章结束后，提供了一些相关的习题，帮助读者深入理解插值与拟合方法。习题5包括：

1. 线性插值：给定一组数据点，使用线性插值法估算特定点的值。

2. 多项式拟合：使用三次多项式对一组数据进行拟合，并在Matlab中编程实现。

3. 指数函数拟合：使用指数函数对一组呈指数增长的数据进行拟合，编写Matlab代码求解拟合参数。

通过这些习题，读者可以进一步掌握插值与拟合方法在实际中的应用，以及如何利用Matlab工具进行求解。

总结

第五章介绍了插值与拟合的基本概念及其常见方法，包括线性插值、样条插值、线性最小二乘拟合和多项式拟合等。插值与拟合在数据分析和建模中有着重要作用，可以帮助我们更好地理解数据之间的关系。接下来的章节将进一步探索动态规划和多目标优化等高级优化技术，帮助读者更全面地理解数学建模和数值分析的理论与实践。