微分方程是描述自然界中变化过程的重要数学工具。在物理、化学、生物学以及工程等领域，许多问题都可以通过微分方程来建模。通过对微分方程的求解，可以更好地理解和预测系统的动态行为。本章将介绍微分方程建模的基本概念，典型的建模实例，常用的数值解法以及在Matlab中的实现。

6.1 微分方程建模概述

微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，用于描述一个变量如何随时间或空间的变化而变化。根据微分方程的形式，可以将其分为以下几类：

• 常微分方程（ODE）：涉及一个自变量（通常为时间），描述系统随时间的演化。

• 偏微分方程（PDE）：涉及多个自变量，描述空间和时间的变化，如热传导方程。

微分方程建模的核心在于根据实际系统的变化规律构建方程，描述系统中各个变量之间的关系。

类型	描述	应用场景
常微分方程（ODE）	描述随时间变化的动态系统	生物种群模型、电路分析
偏微分方程（PDE）	描述时间和空间上的动态过程	流体力学、热传导问题

6.2 发射卫星与三阶火箭建模

在航天工程中，卫星发射的动力学过程是一个复杂的微分方程问题。三阶火箭模型用于描述火箭的运动轨迹，可以用常微分方程描述其随时间的速度和位置的变化。

例如，一个简单的三阶火箭模型可以使用牛顿第二定律表示：

• 位置方程：，表示火箭的位置随时间的变化。

• 速度方程：，表示火箭速度的变化。

• 加速度方程：，通过外力计算得到。

Matlab代码示例：火箭发射模拟

% 定义初始条件
initial_position = 0;  % 初始位置
initial_velocity = 0;  % 初始速度
initial_conditions = [initial_position; initial_velocity];

% 定义微分方程
rocket_ode = @(t, y) [y(2); -9.81 + thrust(t)];  % thrust(t)为推力函数，简化为常值

% 时间范围
time_span = [0 50];  % 模拟50秒

% 使用ode45求解常微分方程
[t, y] = ode45(rocket_ode, time_span, initial_conditions);

% 绘制位置和速度曲线
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, y(:, 1));
xlabel('时间 (s)');
ylabel('位置 (m)');
title('火箭位置随时间的变化');

subplot(2, 1, 2);
plot(t, y(:, 2));
xlabel('时间 (s)');
ylabel('速度 (m/s)');
title('火箭速度随时间的变化');

在上述代码中，我们定义了火箭运动的简单模型，利用Matlab中的ode45函数求解火箭随时间的运动轨迹。

6.3 微分方程数值解法

微分方程的数值解法是指使用数值方法来逼近微分方程的解，特别是在无法获得解析解时。常见的数值解法包括：

• 欧拉法（Euler's Method）：通过逐步逼近的方式求解常微分方程，适用于简单的线性问题。

• 龙格-库塔法（Runge-Kutta Method）：更高阶的数值解法，常用的是四阶龙格-库塔方法，具有更高的精度。

Matlab代码示例：欧拉法与龙格-库塔法

% 定义常微分方程 y' = -2y
ode_fun = @(t, y) -2 * y;

% 时间范围
t_span = [0 5];

% 初始条件
y0 = 1;

% 使用欧拉法手动求解
dt = 0.1;  % 时间步长
t = t_span(1):dt:t_span(2);
y_euler = zeros(size(t));
y_euler(1) = y0;

for i = 1:(length(t) - 1)
    y_euler(i + 1) = y_euler(i) + dt * ode_fun(t(i), y_euler(i));
end

% 使用ode45（相当于四阶龙格-库塔法）求解
[t_ode45, y_ode45] = ode45(ode_fun, t_span, y0);

% 绘制结果
figure;
plot(t, y_euler, 'o-', t_ode45, y_ode45, '-');
xlabel('时间 t');
ylabel('y(t)');
title('欧拉法与龙格-库塔法求解对比');
legend('欧拉法', 'ode45');

该代码展示了如何使用欧拉法和ode45方法来求解一个简单的常微分方程，并比较了两种方法的结果。

6.4 放射性废料的处理

放射性废料的衰变过程可以用一阶常微分方程来描述，衰变速率与当前物质的量成正比，通常表示为：

 

其中， 表示时间 时刻剩余的放射性物质量， 为衰变常数。

Matlab代码示例：放射性衰变

% 定义衰变常数
lambda = 0.1;

% 定义微分方程
decay_ode = @(t, N) -lambda * N;

% 时间范围和初始条件
t_span = [0 50];
N0 = 100;

% 使用ode45求解放射性衰变
[t, N] = ode45(decay_ode, t_span, N0);

% 绘制衰变曲线
figure;
plot(t, N, '-');
xlabel('时间 (年)');
ylabel('剩余物质量 N(t)');
title('放射性物质衰变过程');

在上述代码中，我们使用ode45函数求解放射性废料的衰变过程，绘制了物质量随时间变化的曲线。

6.5 初值问题的Matlab数值求解

初值问题是指给定微分方程及其初始条件，通过数值方法求解方程在后续时间点的解。Matlab中，ode45、ode23、ode113等函数都可以用于求解不同精度需求的初值问题。

• ode45：适用于大多数问题，精度较高。

• ode23：在对精度要求不高时，可以使用，计算速度快。

• ode113：适用于刚性问题或对精度有特殊需求的问题。

通过这些数值求解工具，用户可以根据问题的特性选择最适合的求解方法。

习题 6

在第六章结束后，提供了一些相关的习题，帮助读者深入理解微分方程建模与求解的方法。习题6包括：

1. 弹簧振子模型：建立一个简单弹簧振子的常微分方程模型，并使用Matlab求解其运动情况。

2. 化学反应速率：在某化学反应中，反应物A转化为产物B，反应速率与A的浓度成正比，建立微分方程并求解反应物的浓度随时间的变化。

3. 人口增长模型：建立一个人口增长的模型，假设人口增长率与当前人口数量成正比，并使用数值方法求解未来人口的变化趋势。

通过这些习题，读者可以进一步掌握如何通过微分方程对实际问题进行建模，以及利用Matlab工具进行数值求解。

总结

第六章介绍了微分方程建模的基本概念及其求解方法，包括常微分方程、偏微分方程、欧拉法、龙格-库塔法等。微分方程在描述动态系统中起着关键作用，广泛应用于工程、物理、生物等领域。通过本章的学习，读者可以掌握如何建立微分方程模型，并利用Matlab进行数值求解，为理解和预测复杂系统的行为提供了有力的工具。接下来的章节将进一步探索多目标优化等高级优化技术，帮助读者更全面地理解优化理论和实践。