1.特征值与特征向量

设$A$是$n$阶矩阵，如果存在数$\lambda$和$n$维非零向量$x$，使关系式
$Ax=\lambda x$
成立，则称$\lambda$是$A$的特征值，$x$是$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。
定理: 设$n$阶方阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij​)的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n} λ1​,λ2​,⋯,λn​,则有：
( 1 ) : λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n (1):\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn} (1):λ1​+λ2​+⋯+λn​=a11​+a22​+⋯+ann​
( 2 ) : λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ (2):\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}=|A| (2):λ1​λ2​⋯λn​=∣A∣
注意：
a 11 + a 22 + ⋯ + a n n a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn} a11​+a22​+⋯+ann​称为矩阵$A$的迹，记为$tr(A)$。
方阵$A$可逆的充要条件是:$A$的所有特征值都不为零。
矩阵$A$与 A T A^{T} AT有相同的特征值。
拓展:
若$\lambda$是矩阵$A$的特征值，则有以下对应关系：
A T → λ ; A^{T}\rightarrow \lambda ; AT→λ;
$kA\to k\lambda ;$
A k → λ k ; A^{k}\rightarrow \lambda ^{k}; Ak→λk;
$f(A)\to f(\lambda )$,$f$为多项式,特别地$aA+bE\to a\lambda +b；$
A − 1 → 1 λ A^{-1}\rightarrow\frac{1}{\lambda} A−1→λ1​($A$可逆)
A ∗ → ∣ A ∣ λ A^{*}\rightarrow \frac{|A|}{\lambda } A∗→λ∣A∣​($A$可逆)

2.相似矩阵性质与定义

设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B,则称$B$是$A$的相似矩阵，或称$A$与$B$相似，也可以表示为$A\sim B$,$P$称为把$A$变成$B$的相似变换矩阵。
相似是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质:
(1):反身性:$A$与$A$相似。
(2):对称性:若$A$与$B$相似，则$B$与$A$相似。
(3):传递性:若$A$与$B$相似,$B$与$C$相似，则$A$与$C$相似。
(4):相似矩阵的秩和行列式都相等。
(5):相似矩阵有相同的可逆性，且可逆时其逆也相似。
(6):相似矩阵的同次幂仍相似。

总结: 若$A\sim B$,则
A T ∼ B T A^{T}\sim B^{T} AT∼BT
A − 1 ∼ B − 1 A^{-1}\sim B^{-1} A−1∼B−1
A ∗ ∼ B ∗ A^{*}\sim B^{*} A∗∼B∗
$aA+bE\sim aB+bE$
A k ∼ B k A^{k}\sim B^{k} Ak∼Bk
$AB\sim BA$

3.相似矩阵的必要条件

若$A\sim B$,则
(1):$|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$
(2):$A$与$B$有相同的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n} λ1​,λ2​,⋯,λn​;
(3): ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n |A|=|B|=\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots \lambda_{n} ∣A∣=∣B∣=λ1​λ2​⋯λn​
(4): t r ( A ) = t r ( B ) = ∑ i = 1 n λ i tr(A)=tr(B)=\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i} tr(A)=tr(B)=∑i=1n​λi​
(5):$R(A)=R(B)$

4.相似矩阵的充分条件

知识准备:
如果$n$矩阵$A$相似与对角矩阵$\Lambda$,即$A\sim \Lambda$,则称$A$可相似对角化。

若$A\sim \Lambda ,\Lambda \sim B\Rightarrow A\sim B$
利用相似矩阵的传递性即可证明