动态规划之最大和子数组

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和

输入: [-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

解题思路

使用动态方程解题就需要题目符合动态方程解法，动态方程的两个思路：

1. 将大的问题拆解成小一点问题，小问题和大问题的解决思路是类似的
2. 小问题之间的关系能完成大问题的最优解

建立数学模型

求数组arr中最大和的子数组，建立一个子数组和的列表dp。其中dp[i]代表着以第i-1个元素结尾的数组的最大和。

一般情况下，我们可以用dp[i]代表以第 i 个元素结尾的子数组的最值，而递推关系就是考虑和dp[i-1]之间的关系

边界值

dp[i]代表这以第i-1个元素结尾的子数组的最大和，所以dp[0]就是边界值。当数组只有一个元素时，该元素就是数组的最大和

状态转移方程

状态转移方程是最难写的，但是我们要迎难而上。下面分析一下该状态如何转移。

这里用dp[i]代表以第 i 个元素结尾的子数组的最大和，则max(dp[i])就是要求的最终结果，那么关键是如何写出递推关系式。

转化后模型：
求i=7结尾的最大和。求i=7时，要知道前面的前一个dp[7-1]的值。比较 dp[6] + nums[7] 和 nums[7] 的大小，大的那一个就是dp[7]的值，也就是以 第7个元素结尾的子数组的最大值。

这里求8个元素的最大和的子数组，这个大问题可以拆解成小问题，即求8个元素的最大和的子数组，继续拆解可以为求7个元素的最大和的子数组，一直到求1个元素的最大和子数组。

-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5
-2,-1,-3,4,-1,2,1
-2,-1,-3,4,-1,2
-2,-1,-3,4,-1
-2,-1,-3,4
-2,-1,-3
-2,-1
-2

小问题之间的联系，可以完成大问题的最优解。

-2 最大和就是-2
-2,-1 以-1结尾的最大和为-1，因为前i-1个元素+i元素的最大值为负数，所以最大值为当前-1
-2,-1,-3 以-3结尾的最大和为-3，前2个元素+i元素的最大值为-3，相比较当前值-3，最大值就是-3
-2,-1,-3,4 以4结尾的最大和为4，前3个元素的最大和-3为负数，但没第4个元素，所以最大的和为4
-2,-1,-3,4,-1 以-1结尾的最大和为3，前4个元素的最大和为4，所以加上当前值能变大，最大和为3
-2,-1,-3,4,-1,2 以2结尾的最大和为5，前5个元素的最大和为3，所以加上当前值能变大，最大和为5
-2,-1,-3,4,-1,2,1 以1结尾的最大和为1，前6个元素的最大和为5，加上当前值为6，
-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5 以-5结尾的最大和1，前7个元素的最大和为1，大于0，所以加上当前元素能变大，最大和为1

统计出所有以第i个元素结尾的最大和为

可以看出当以1结尾时，可以获得最大和的子数组，值为6

明显的，因为我们考虑的子数组以nums[i]结尾，那么该数组一定是包含nums[i]这个元素的，因此需要考虑两种情况：即nums[i]单独成为一段还是与前面的dp[i-1]一起构成子数组，因此，可以得到如下的递推关系式：

dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])

或者说：
dp[i-1]代表着前i-1个元素组成的子数组的最大和，那么加上第i个元素时就有两种情况：

1. 第i个元素 大于 dp[i-1]+arr[i]，那么前i个元素的最大值为第i个元素的值
2. 第i个元素 小于 dp[i-1]+arr[i]，那么前i个元素的最大值为前i-1个元素的值 + 第i个元素

dp[i] = max{arr[i], dp[i-1]+arr[i]}

python代码

input_list = [-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5]
length = len(input_list)
dp = [0] * length

# 边界值，如果只有一个元素，则第一个元素的最大值就是自身
dp[0] = input_list[0]

for i in range(1,len(input_list)):
    # if dp[i-1] + input_list[i] > input_list[i] ---> dp[i-1] > 0。或许前一种写法更容易理解
    if dp[i-1] > 0:
        # 如果前i-1个元素的最大值大于0，那么加上当前就能使得以当前值为结尾的最大和变大
        dp[i] = dp[i-1] + input_list[i]
    else:
        # 如果前i-1个元素的最大值小于0，那么加上当前就能使得以当前值为结尾的最大和变小。以当前值为结尾的最大和就是自身组成的数组
        dp[i] = input_list[i]

print(dp)
print(max(dp))

又可以写成：

input_list = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

length = len(input_list)

# 构建一个dp数组，用来存储以第i个元素为结尾的最大子数组之和
dp = [0] * length
# 边界值，如果只有一个元素，则第一个元素的最大值就是自身
dp[0] = input_list[0]

for i in range(1,length):
    # 循环数组，比较前i-1个数组最大值+自身 和自身的大小。
    # 如果大则表明前i-1个数组是正数，则可以继续加上第i个
    # 如果小则表明前i-1个数组是负数，那么相加肯定更小，所以以自身为新起点继续往下走
    dp[i] = max(dp[i-1]+input_list[i],input_list[i])
    
print(max(dp))
     

小结

最长连续子序的解法精华在于 维护了一个dp数组，该数组中的每一个元素都代表着前i-1个元素能够组成的最大值，只需要比较前i-1个元素+第i个元素的值与第i个元素的值的大小，就能得到第前i个元素能够组成的子数组的最大值。