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    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

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    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    2025-02-12 09:28:40 阅读次数:12

    二叉,二叉树,搜索,树中,示例,节点,遍历

    深搜的介绍

    深搜是深度优先遍历(深度优先搜索)的一种简称。那什么是深度优先遍历呢?对于单分支的情况来说,就是直接暴力遍历,例如,遍历顺序表、链表的情况。对于多分支的情况来说,深度优先遍历就是一条道走到黑(或者说不撞南墙不回头,但是撞了就立马回头),沿着某条路径一直走直至不能走下去了,再返回去沿着其他路径走,最典型的代表:二叉树中的前序遍历、中序遍历、后序遍历都是深度优先遍历的形式。因为不管是前序、中序、后序,它们都是沿着某条路线一直走到不能走了才返回。

    接下来我们通过一些题目来认识"深搜"。

    2331.计算布尔二叉树的值

    题目:

    给你一棵 完整二叉树 的根,这棵树有以下特征:

    • 叶子节点 要么值为 0 要么值为 1 ,其中 0 表示 False ,1 表示 True 。
    • 非叶子节点 要么值为 2 要么值为 3 ,其中 2 表示逻辑或 OR ,3 表示逻辑与 AND 。

    计算 一个节点的值方式如下:

    • 如果节点是个叶子节点,那么节点的 值 为它本身,即 True 或者 False 。
    • 否则,计算 两个孩子的节点值,然后将该节点的运算符对两个孩子值进行 运算 。

    返回根节点 root 的布尔运算值。

    完整二叉树 是每个节点有 0 个或者 2 个孩子的二叉树。

    叶子节点 是没有孩子的节点。

     

    示例 1:

     

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [2,1,3,null,null,0,1]
    输出:true
    解释:上图展示了计算过程。
    AND 与运算节点的值为 False AND True = False 。
    OR 运算节点的值为 True OR False = True 。
    根节点的值为 True ,所以我们返回 true 。

    示例 2:

    输入:root = [0]
    输出:false
    解释:根节点是叶子节点,且值为 false,所以我们返回 false 。
    

    提示:

    • 树中节点数目在 [1, 1000] 之间。
    • 0 <= Node.val <= 3
    • 每个节点的孩子数为 0 或 2 。
    • 叶子节点的值为 0 或 1 。
    • 非叶子节点的值为 2 或 3 。

    思路:要知道整棵树的布尔值,得先知道其左子树与右子树的布尔值,然后再通过根结点的运算符来计算最终的结果,而想知道左子树的布尔值,还得知道其左子树与右子树的布尔值,然后再通过左子树的运算符来计算。这里我们已经找到了重复子问题了(针对二叉树的问题,是很容易就找到重复子问题)。

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    代码实现:

    class Solution {
        // 计算出root指针指向的树的布尔值
        public boolean evaluateTree(TreeNode root) {
            if (root.left == null && root.right == null) { // 叶子结点
                return root.val == 1 ? true : false;
            }
            // 先得计算出左子树
            boolean left = evaluateTree(root.left);
            // 再去计算右子树
            boolean right = evaluateTree(root.right);
            // 再根据根结点的值来计算出最终结果
            if (root.val == 2) { // or
                return left || right;
            } else { // and
                return left && right;
            }
        }
    }

    这里其实就是一个后序遍历。

    129.求根节点到叶节点数字之和

    题目: 

     给你一个二叉树的根节点 root ,树中每个节点都存放有一个 0 到 9 之间的数字。

    每条从根节点到叶节点的路径都代表一个数字:

    • 例如,从根节点到叶节点的路径 1 -> 2 -> 3 表示数字 123 。

    计算从根节点到叶节点生成的 所有数字之和 。

    叶节点 是指没有子节点的节点。

    示例 1:

     

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [1,2,3]
    输出:25
    解释:
    从根到叶子节点路径 1->2
     代表数字 12
    
    从根到叶子节点路径 1->3
     代表数字 13
    因此,数字总和 = 12 + 13 = 25

    示例 2:

     

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [4,9,0,5,1]
    输出:1026
    解释:
    从根到叶子节点路径 4->9->5
     代表数字 495
    从根到叶子节点路径 4->9->1
     代表数字 491
    从根到叶子节点路径 4->0
     代表数字 40
    因此,数字总和 = 495 + 491 + 40 = 1026
    

    提示:

    • 树中节点的数目在范围 [1, 1000] 内
    • 0 <= Node.val <= 9
    • 树的深度不超过 10

    思路:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    代码实现:

    class Solution {
        public int sumNumbers(TreeNode root) {
            return dfs(root, 0);
        }
    
        private int dfs(TreeNode root, int prevSum) {
            // 把当前路径的值计算出来
            prevSum = prevSum * 10 + root.val;
            // 判断当前结点是否为叶子结点
            if (root.left == null && root.right == null) {
                return prevSum;
            }
            // 可能会存在左子树为空,右子树不为空;左子树不为空,右子树为空的情况
            // 这里没有去判断当前结点是否为null的情况,可能会出现空指针异常
            int sum = 0;
            if (root.left != null) {
                sum += dfs(root.left, prevSum);
            }
            if (root.right != null) {
                sum += dfs(root.right, prevSum);
            }
            return sum;
        }
    }

    814.二叉树剪枝

    题目:

    给你二叉树的根结点 root ,此外树的每个结点的值要么是 0 ,要么是 1 。

    返回移除了所有不包含 1 的子树的原二叉树。

    节点 node 的子树为 node 本身加上所有 node 的后代。

     

    示例 1:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [1,null,0,0,1]
    输出:[1,null,0,null,1]
    解释:
    只有红色节点满足条件“所有不包含 1 的子树”。 右图为返回的答案。
    

    示例 2:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [1,0,1,0,0,0,1]
    输出:[1,null,1,null,1]
    

    示例 3:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [1,1,0,1,1,0,1,0]
    输出:[1,1,0,1,1,null,1]
    

    提示:

    • 树中节点的数目在范围 [1, 200] 内
    • Node.val 为 0 或 1

    思路:题目这里是让我们将二叉树中只包含数值0的结点的所在的子树给剪枝,也就是删除(置为null即可)。这里要删除就得判断其左子树是否符合只包含0,其右子树是否符合只包含0,并且当前结点的值是0,如果是的话,就得将这棵树删除,也就是置为null。

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    代码实现:

    class Solution {
        // 函数的意义:给你一个根结点,把根结点所指向的树中只有0的子树给去除
        public TreeNode pruneTree(TreeNode root) {
            // 递归的出口
            if (root == null) {
                return null;
            }
            // 处理左子树
            TreeNode left = pruneTree(root.left);
            // 如果左子树为null,就得"剪枝"
            if (left == null) {
                root.left = null;
            }
            // 处理右子树
            TreeNode right = pruneTree(root.right);
            // 如果右子树为null,就得"剪枝"
            if (right == null) {
                root.right = null;
            }
            // 处理当前结点
            if (left == null && right == null && root.val == 0) {
                return null;
            }
            return root;
        }
    }

    98.验证二叉搜索树

    题目:

    给你一个二叉树的根节点 root ,判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

    有效 二叉搜索树定义如下:

    • 节点的左子树只包含 小于 当前节点的数。
    • 节点的右子树只包含 大于 当前节点的数。
    • 所有左子树和右子树自身必须也是二叉搜索树。

     

    示例 1:

     

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [2,1,3]
    输出:true
    

    示例 2:

     

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [5,1,4,null,null,3,6]
    输出:false
    解释:根节点的值是 5 ,但是右子节点的值是 4 。
    

    提示:

    • 树中节点数目范围在[1, 104] 内
    • -231 <= Node.val <= 231 - 1

    思路:本题就是让我们想办法证明这棵二叉树是二叉搜索树。很简单,二叉搜索树的性质:中序遍历二叉树,最终的序列是有序的。因此可以直接用一个数组暴力存储所有的值,然后去判断该数组是否有序即可。暴力方法虽然行得通,但还可以优化,我们要证明有序的话,可以用一个变量来记录前一个位置的值,当前一个位置的值小于当前位置的时候,说明是满足二叉搜索树的性质,那就继续判断下去,而如果不满足的话,那就直接返回false即可。最终遍历完成并未返回false,说明这棵树确实是二叉搜索树。

    代码实现:

    暴力解法:

    class Solution {
        int[] nums;
        int i = 0;
        public boolean isValidBST(TreeNode root) {
            nums = new int[100001];
            // 中序遍历判断是否为有序序列即可
            dfs(root);
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (j+1 < i && nums[j] >= nums[j+1]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }
    
        void dfs(TreeNode root) {
            if (root == null) {
                return;
            }
            dfs(root.left);
            nums[i++] = root.val;
            dfs(root.right);
        }
    }

    优化解法:

    class Solution {    
        // 使用一个变量来记录中序遍历的前一个数值
        long prev = Long.MIN_VALUE;
        // 函数的意义:给你一个root,判断其指向的树是否为二叉搜索树
        public boolean isValidBST(TreeNode root) {
            if (root == null) {
                return true;
            }
            // 判断左子树是否为二叉搜索树
            boolean left = isValidBST(root.left);
            if (!left) { // 如果为false,那么后面的就不需要判断了
                return false;
            }
            // 判断当前结点是否符合二叉搜索树的定义
            if (root.val > prev) {
                prev = root.val;
            } else {
                return false;
            }
            // 判断右子树是否为二叉搜索树
            boolean right = isValidBST(root.right);
            if (!right) { // 如果为false,那么后面的就不需要判断了
                return false;
            }
            return true;
        }
    }

    230.二叉搜索树中第K小的元素

    题目:

    给定一个二叉搜索树的根节点 root ,和一个整数 k ,请你设计一个算法查找其中第 k 小的元素(从 1 开始计数)。

    示例 1:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [3,1,4,null,2], k = 1
    输出:1
    

    示例 2:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [5,3,6,2,4,null,null,1], k = 3
    输出:3
    

    提示:

    • 树中的节点数为 n 。
    • 1 <= k <= n <= 10^4
    • 0 <= Node.val <= 10^4

    思路:这一题本质上与上一题是差不多的,还是利用二叉搜索树的性质来解题。暴力解法就是中序遍历遍历整个二叉搜索树,将节点存储起来,然后返回第k-1个元素即可。优化的话,就是使用两个全局变量:一个去记录k的值,一个去记录最终返回的结果。

    代码实现:

    暴力解法:

    class Solution {
        // 用一个数组将二叉搜索树的中序遍历存储起来
        int[] nums;
        int i;
        public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
            nums = new int[10001];
            i = 0;
            dfs(root);
            return nums[k-1];
        }
    
        private void dfs(TreeNode root) {
            if (root == null) {
                return;
            }
            dfs(root.left);
            nums[i++] = root.val;
            dfs(root.right);
        }
    }

    优化解法:

    class Solution {
        // 函数的意义:找到root树的第k小的结点
        int count, ret;
        public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
            count = k;
            dfs(root);
            return ret;
        }
    
        private void dfs(TreeNode root) {
            if (root == null || count == 0) {
                return;
            }
            dfs(root.left);
            if (--count == 0) {
                ret = root.val;
                return;
            }
            dfs(root.right);
        }
    }

    257.二叉树的所有路径

    题目:

    给你一个二叉树的根节点 root ,按 任意顺序 ,返回所有从根节点到叶子节点的路径。

    叶子节点 是指没有子节点的节点。 

    示例 1:

    一文详解“二叉树中的深搜“在算法中的应用

    输入:root = [1,2,3,null,5]
    输出:["1->2->5","1->3"]
    

    示例 2:

    输入:root = [1]
    输出:["1"]
    

    提示:

    • 树中节点的数目在范围 [1, 100] 内
    • -100 <= Node.val <= 100

    思路:题目是让我们将根结点到每个叶子结点的路径统计出来。其实也是比较简单的,只需要用一个字符串变量来记录当前的元素信息,如果是叶子结点的话,就存储到 List 中,反之则继续向下探索。

    代码实现:

    class Solution {
        List<String> l;
        public List<String> binaryTreePaths(TreeNode root) {
            l = new LinkedList<>();
            StringBuilder path = new StringBuilder();
            dfs(root, path);
            return l;
        }
    
        private void dfs(TreeNode root, StringBuilder _path) {
            // 新创建一个path变量,虽然值一样,但是地址并不一样
            // 这样每次在递归修改的时候,并不会相互影响,而是自己新创建的对象
            StringBuilder path = new StringBuilder(_path);
            if (root.left == null && root.right == null) {
                path.append(root.val);
                l.add(path.toString());
                return;
            } else {
                path.append(root.val);
                path.append("->");
            }
            if (root.left != null) {
                dfs(root.left, path);
            }
            if (root.right != null) {
                dfs(root.right, path);
            }
        }
    }

    注意:这里在统计完叶子结点之后,回溯的过程中,之前的 StringBuilder 变量已经发生了变化,并不是我们第一次来时的摸样了,这就需要我们去还原刚开始的样子,可以在每递归一次的时候,就去创建一个新的变量来记录当前的变化情况。 

    版权声明:本文内容来自第三方投稿或授权转载,原文地址:https://blog.csdn.net/2301_80854132/article/details/144656502,作者:我要学编程(ಥ_ಥ),版权归原作者所有。本网站转在其作品的目的在于传递更多信息,不拥有版权,亦不承担相应法律责任。如因作品内容、版权等问题需要同本网站联系,请发邮件至ctyunbbs@chinatelecom.cn沟通。

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