树的基本概念
1.1 什么是树?
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
- 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
- 除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的,这意味着我们可以使用递归完成一些对树的操作。
注意:
1. 树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
2. 除了根节点外,每个节点有且仅有一个父节点
3. 一颗N个节点的数有N-1条边
一些概念
结点的度
:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6树的度
:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6叶子结点或终端结点
:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点双亲结点或父结点
:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点孩子结点或子结点
:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点根结点
:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A结点的层次
:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推树的高度
:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4非终端结点或分支结点
:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支结点兄弟结点
:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点堂兄弟结点
:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点结点的祖先
:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先子孙
:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙森林
:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
二叉树
什么是二叉树?
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
注意: 二叉树中不存在度大于2的节点
两种比较特殊的二叉树
满二叉树
: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是 2^k - 1,则它就是满二叉树。完全二叉树
: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。
注意:满二叉树是一种特殊的完全二叉树
二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k - 1 (k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有
n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 上取整
- 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i
的结点有:- 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
- 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
- 若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子