乘法逆元

定义： 满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。
为什么要有乘法逆元呢？

当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。 我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，

即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。
证：（其实很简单。。。） 根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。 k=(p*x+1)/b。 把k代入(a*k) mod p，

得： (a*(p*x+1)/b) mod p =((a*p*x)/b+a/b) mod p =[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p =[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p //p*[(a*x)/b] mod p=0 所以原式等于：(a/b) mod p

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(p, q) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
  {
      if(b == 0)
     {
         x = 1;
 　　   y = 0;
   　　return a;
     }
      int r = exGcd(b, a % b, x, y);
      int t = x;
      x = y;
       y = t - a / b * y;
      return r;
  }

  把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
  可以这样思考:
  对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
  由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
  那么可以得到:
  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
  因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
  补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a,b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(a, b) * t 
  q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可。

更通常的是：我们需要求解方程的最小整数解
若我们已经求得x0,y0为方程中x的一组特解，那么
x=x0+b/gcd(a,b)*t，y=y0-a/gcd(a,b)*t(t为任意整数）也为方程的解
且b/gcd(a,b)，a/gcd(a,b)分别为x，y的解的最小间距，所以x在0~b/gcd(a,b)区间有且仅有一个解，
同理y在0~a/gcd(a,b)同样有且仅有一个解，这个解即为我们所需求的最小正整数解。

为什么b/gcd(a,b)，a/gcd(a,b)分别为x，y的解的最小间距？
解：假设c为x的解的最小间距，此时d为y的解的间距，所以x=x0+c*t，y=y0-d*t（x0，y0为一组特解，t为任意整数）
带入方程得：a*x0+a*c*t+b*y0-b*d*t=n,因为a*x0+b*y0=n，所以a*c*t-b*d*t=0，t不等于0时，a*c=b*d
因为a,b,c,d都为正整数，所以用最小的c，d，使得等式成立，ac，bd就应该等于a，b的最小公倍数a*b/gcd(a,b),
所以c=b/gcd(a,b)，d就等于a/gcd(a,b)。

所以，若最后所求解要求x为最小整数，那么x=(x0%（b/gcd(a,b))+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b))即为x的最小整数解。
x0%（b/gcd(a,b))使解落到区间-b/gcd(a,b)~b/gcd(a,b)，再加上b/gcd(a,b)使解在区间0~2*b/gcd(a,b)，
再模上b/gcd(a,b)，则得到最小整数解（注意b/gcd(a,b)为解的最小距离，重要）

__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
__int64 g=exGcd(b,a%b,x,y);
__int64 temp=x;
x=y;
y=temp-(a/b)*y;
return g;
}