题目背景

由于你的帮助，火星只遭受了最小的损失。但gw懒得重建家园了，就造了一艘飞船飞向遥远的earth星。不过飞船飞到一半，gw发现了一个很严重的问题：肚子饿了~

gw还是会做饭的，于是拿出了储藏的食物准备填饱肚子。gw希望能在T时间内做出最美味的食物，但是这些食物美味程度的计算方式比较奇葩，于是绝望的gw只好求助于你了。

题目描述

一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。

众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大

输入格式

第一行是两个正整数T和n，表示到达地球所需时间和食材个数。

下面一行n个整数，ai

下面一行n个整数，bi

下面一行n个整数，ci

输出格式

输出最大美味指数

输入输出样例

输入 #1

74 1
502
2
47

输出 #1

408
说明/提示

【数据范围】

对于40%的数据1<=n<=10

对于100%的数据1<=n<=50

所有数字均小于100,000

【题目来源】

tinylic改编

思路

这道题之所以要多一个排序是因为物品的价值是个变量，随时间变化。

如果没有b[i]这个属性的话就是明显的01背包问题。

现在考虑相邻的两个物品x,y。假设现在已经耗费p的时间，那么分别列出先做x,y的代价：

a[x]-(p+c[x])*b[x]+a[y]-(p+c[x]+c[y])*b[y] (①)

a[y]-(p+c[y])*b[y]+a[x]-(p+c[y]+c[x])*b[x] (②)

对这两个式子化简，得到①＞②的条件是c[x]*b[y]<c[y]*b[x].

发现只要满足这个条件的物品对(x,y)，x在y前的代价永远更优。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long 
LL dp[100010] = { 0 }, ans = 0;
class node
{
public:
	LL a, b, c;
}s[60];
bool cmp(node aa, node bb)
{
	return aa.c * bb.b < aa.b * bb.c;
}
int main()
{
	int n, t;
	cin >> t >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> s[i].a;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> s[i].b;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> s[i].c;
	sort(s + 1, s + 1 + n, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = t; j >= s[i].c; j--)
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - s[i].c] + s[i].a - j * s[i].b);
	for (int i = 1; i <= t; i++)
		ans = max(ans, dp[i]);
	cout << ans;
	return 0;
}