问题描述

最近FJ为他的奶牛们开设了数学分析课，FJ知道若要学好这门课，必须有一个好的三角函数基本功。所以他准备和奶牛们做一个“Sine之舞”的游戏，寓教于乐，提高奶牛们的计算能力。

不妨设：

An=sin(1–sin(2+sin(3–sin(4+...sin(n))...)

Sn=(...(A1+n)A2+n-1)A3+...+2)An+1

FJ想让奶牛们计算Sn的值，请你帮助FJ打印出Sn的完整表达式，以方便奶牛们做题。

解决方案

问题明显是两个部分，由An和Sn组成，而且Sn是由An和其他部分组成。

观察两个表达式，发现它们可以的组成含有一定的规律，开始考虑函数递归的思路，找到递归出口和递归规律。

先看Sn部分，将Sn的表达式进行翻转，然后将由+号连接的部分看作为一项，可以发现每一项都可以由一个通项公式——“Aj +（n + 1 - j）”表示，这个规律也就是递归的通项公式，而且递归出口也就是当j等于n时，也就是翻转后的Sn的第一项；

再看An部分，从后往前看，可以发现“I +（-1）i * sin（）”构成了它前一项的sin内的值，且最后一项为sin（n），这样An的递归规律也就找到了，同时，递归出口也很容易发现：当i等于n的时候，也就是最后一项sin（n）。

python代码：

结语

当完成上述函数递归后，假设需要求S3的表达式，会得到这样的结果：1+sin(1+-1sin(2+1sin(3)))(2+sin(1+-1sin(2))(3+sin(1)))，这个结果虽然是正确的，但是出现一个问题，那就是负号出现时正号也会出现，也就还需要一些调整，注意得到的Sn是一个字符串，那么问题也就变得简单了，只需要遍历这个字符串，如果出现正负号同时存在的情况，便将负号删除。

同时通过这个递归的简单应用，可以发现递归的一般思路步骤：首先分析问题，找到递归规律，然后找到递归出口，最后分析递归开始的条件和位置，完成递归。