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组合数学汇总

LeetCode1922. 统计好数字的数目

我们称一个数字字符串是 好数字 当它满足（下标从 0 开始）偶数 下标处的数字为 偶数 且 奇数 下标处的数字为 质数 （2，3，5 或 7）。
比方说，“2582” 是好数字，因为偶数下标处的数字（2 和 8）是偶数且奇数下标处的数字（5 和 2）为质数。但 “3245” 不是 好数字，因为 3 在偶数下标处但不是偶数。
给你一个整数 n ，请你返回长度为 n 且为好数字的数字字符串 总数 。由于答案可能会很大，请你将它对 109 + 7 取余后返回 。
一个 数字字符串 是每一位都由 0 到 9 组成的字符串，且可能包含前导 0 。
示例 1：
输入：n = 1
输出：5
解释：长度为 1 的好数字包括 “0”，“2”，“4”，“6”，“8” 。
示例 2：
输入：n = 4
输出：400
示例 3：
输入：n = 50
输出：564908303
提示：
1 <= n <= 10¹⁵

1922 乘法原理

根据例2，最高位可以为0。偶数位：有5种选择；奇数位有4种选择。
奇数位有：n/2，偶数位有：n-n/2。
各位的可能累乘。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

	class Solution {
		public:
			int countGoodNumbers(long long n) {
				auto i1 = n / 2;
				auto i0 = n - i1;
				auto ans = C1097Int<>(4).pow(i1)* C1097Int<>(5).pow(i0);
				return ans.ToInt();
			}
		};

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			auto res = Solution().countGoodNumbers(1);
			AssertEx(5, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			auto res = Solution().countGoodNumbers(4);
			AssertEx(400, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			auto res = Solution().countGoodNumbers(50);
			AssertEx(564908303, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod14)
		{
			auto res = Solution().countGoodNumbers(806166225460393);
			AssertEx(643535977, res);
		}