本文涉及知识点

C++动态规划

LeetCode2435. 矩阵中和能被 K 整除的路径

给你一个下标从 0 开始的 m x n 整数矩阵 grid 和一个整数 k 。你从起点 (0, 0) 出发，每一步只能往 下 或者往 右 ，你想要到达终点 (m - 1, n - 1) 。
请你返回路径和能被 k 整除的路径数目，由于答案可能很大，返回答案对 10⁹ + 7 取余 的结果。
示例 1：

输入：grid = [[5,2,4],[3,0,5],[0,7,2]], k = 3
输出：2
解释：有两条路径满足路径上元素的和能被 k 整除。
第一条路径为上图中用红色标注的路径，和为 5 + 2 + 4 + 5 + 2 = 18 ，能被 3 整除。
第二条路径为上图中用蓝色标注的路径，和为 5 + 3 + 0 + 5 + 2 = 15 ，能被 3 整除。
示例 2：

输入：grid = [[0,0]], k = 5
输出：1
解释：红色标注的路径和为 0 + 0 = 0 ，能被 5 整除。
示例 3：

输入：grid = [[7,3,4,9],[2,3,6,2],[2,3,7,0]], k = 1
输出：10
解释：每个数字都能被 1 整除，所以每一条路径的和都能被 k 整除。

提示：
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 5 * 10⁴
1 <= m * n <= 5 * 10⁴
0 <= grid[i][j] <= 100
1 <= k <= 50

动态规划

动态规划的状态表示

dp[r][c][k] 记录从起点到达(r,c) 路径和%K == k的方案数。空间复杂度：O(mnk)

动态规划的转移方程

枚举前置状态(r,c,k)
(r1,c1)是(r+1,c)或(r,c+1)
dp[r1][c1][(k+grid[r1][c1])%K] += dp[r][c][k]
单个状态转移的时间复杂度是：O(1)，** 总复杂度**：O(mnk)

动态规划的填表顺序

先行后列，行号和列号都从小到大。
由于只能下移，不能上移，所以行号小的一定是前置节点。由于只能右移，不能左移，所以行号相同，列号小的是前置节点。

动态规划的初始值

全部为0。

动态规划的返回值

dp.back().back()[0]

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
		public:
			int numberOfPaths(vector<vector<int>>& grid, int K) {
				const int R = grid.size();
				const int C = grid[0].size();
				vector<vector<vector<C1097Int<>>>> dp(R, vector<vector<C1097Int<>>>(C, vector<C1097Int<>>(K)));
				dp[0][0][grid[0][0] % K] = 1;
				for (int r = 0; r < R; r++) {
					for (int c = 0; c < C; c++) {
						for (int k = 0; k < K; k++) {
							if (r + 1 < R) {
								dp[r + 1][c][(k + grid[r + 1][c]) % K] += dp[r][c][k];
							}
							if (c + 1 < C) {
								dp[r][c + 1][(k + grid[r][c + 1]) % K] += dp[r][c][k];
							}
						}
					}
				}
				return dp.back().back()[0].ToInt();
			}
		};

单元测试

vector<vector<int>> grid;
		int k;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			grid = { {5,2,4},{3,0,5},{0,7,2} }, k = 3;
			auto res = Solution().numberOfPaths(grid, k);
			AssertEx(2, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			grid = { {0,0} }, k = 5;
			auto res = Solution().numberOfPaths(grid, k);
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			grid = { {7,3,4,9},{2,3,6,2},{2,3,7,0} }, k = 1;
			auto res = Solution().numberOfPaths(grid, k);
			AssertEx(10, res);
		}