本文涉及知识

单源最短路 迪氏优先 图论知识汇总

LeetCode2203. 得到要求路径的最小带权子图

给你一个整数 n ，它表示一个 带权有向 图的节点数，节点编号为 0 到 n - 1 。
同时给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [fromi, toi, weighti] ，表示从 fromi 到 toi 有一条边权为 weighti 的 有向 边。
最后，给你三个 互不相同 的整数 src1 ，src2 和 dest ，表示图中三个不同的点。
请你从图中选出一个 边权和最小 的子图，使得从 src1 和 src2 出发，在这个子图中，都 可以 到达 dest 。如果这样的子图不存在，请返回 -1 。
子图 中的点和边都应该属于原图的一部分。子图的边权和定义为它所包含的所有边的权值之和。
示例 1：
输入：n = 6, edges = [[0,2,2],[0,5,6],[1,0,3],[1,4,5],[2,1,1],[2,3,3],[2,3,4],[3,4,2],[4,5,1]], src1 = 0, src2 = 1, dest = 5
输出：9
解释：
上图为输入的图。
蓝色边为最优子图之一。
注意，子图 [[1,0,3],[0,5,6]] 也能得到最优解，但无法在满足所有限制的前提下，得到更优解。
示例 2：
输入：n = 3, edges = [[0,1,1],[2,1,1]], src1 = 0, src2 = 1, dest = 2
输出：-1
解释：
上图为输入的图。
可以看到，不存在从节点 1 到节点 2 的路径，所以不存在任何子图满足所有限制。
提示：
3 <= n <= 10⁵
0 <= edges.length <= 10⁵
edges[i].length == 3
0 <= fromi, toi, src1, src2, dest <= n - 1
fromi != toi
src1 ，src2 和 dest 两两不同。
1 <= weight[i] <= 10⁵

迪氏最短路

正确性证明

$src1\to destsrc2\to dest$ 一定存在交点c，我们枚举第一个交点c。然后计算：
$dis(src1\to c)+dis(src1\to c)+dis(c\to dest)$的最小值
如果c不可能是第一个交点，会不会带来错误？
一，c和src1、src2、dest不连通。我们用llNotMay = 2e11表示不连通。如果其和大于等于此值，则表示不连通，忽略。
二，c不是第一个交点，令第一个交点是c1，则c会被c1方案淘汰。$c1\to c$ 在c方案中被计算了两次，在c1方案只计算了一次。故c1方案一定优于c方案。
综上所述：不存在的方案，必定被淘汰或忽略。

解题思路

本题是稀疏图，故用迪氏优化求最短路。
先求src1和src2的单源最短路。
再将有向边反转。
求dest的单源最短路。
枚举c ,求最小值。

代码

核心代码

class CNeiBo
{
public:	
	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) 
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}	
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext)
	{
		vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount);
		auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c)
		{
			if ((r < 0) || (r >= rCount))
			{
				return;
			}
			if ((c < 0) || (c >= cCount))

			{
				return;
			}
			if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c))
			{
				vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c);
			}
		};

		for (int r = 0; r < rCount; r++)
		{
			for (int c = 0; c < cCount; c++)
			{
				Move(r, c, r + 1, c);
				Move(r, c, r - 1, c);
				Move(r, c, r, c + 1);
				Move(r, c, r, c - 1);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};

//堆（优先队列)优化迪杰斯特拉算法 狄克斯特拉(Dijkstra)算法详解
typedef pair<long long, int> PAIRLLI;
class  CHeapDis
{
public:
	CHeapDis(int n,long long llEmpty = LLONG_MAX/10):m_llEmpty(llEmpty)
	{
		m_vDis.assign(n, m_llEmpty);
	}
	void Cal(int start, const vector<vector<pair<int, int>>>& vNeiB)
	{
		std::priority_queue<PAIRLLI, vector<PAIRLLI>, greater<PAIRLLI>> minHeap;
		minHeap.emplace(0, start);
		while (minHeap.size())
		{
			const long long llDist = minHeap.top().first;
			const int iCur = minHeap.top().second;
			minHeap.pop();
			if (m_llEmpty != m_vDis[iCur])
			{
				continue;
			}
			m_vDis[iCur] = llDist;
			for (const auto& it : vNeiB[iCur])
			{
				minHeap.emplace(llDist + it.second, it.first);
			}
		}
	}
	vector<long long> m_vDis;
	const long long m_llEmpty;
};

class Solution {
public:
	long long minimumWeight(int n, vector<vector<int>>& edges, int src1, int src2, int dest) {
		auto neiBo0 = CNeiBo::Three(n, edges, true, 0);		
		auto edges1 = edges;
		for (auto& v : edges1) {
			std::swap(v[0], v[1]);
		}
		auto neiBo1 = CNeiBo::Three(n, edges1, true, 0);
		CHeapDis dis1(n), dis2(n), dis3(n);
		dis1.Cal(src1, neiBo0);
		dis2.Cal(src2, neiBo0);
		dis3.Cal(dest, neiBo1);
		long long llRet = LLONG_MAX;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			long long cur = dis1.m_vDis[i] + dis2.m_vDis[i] + dis3.m_vDis[i];
			llRet = min(llRet, cur);
		}
		return (llRet >= dis1.m_llEmpty) ? -1 : llRet;
	}
};

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1, t2);
}
void AssertEx( double t1,  double t2)
{
	auto str = std::to_wstring(t1) + std::wstring(1,32) + std::to_wstring(t2);
	Assert::IsTrue(abs(t1 - t2) < 1e-5,str.c_str() );
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{
	int n;
	vector<vector<int>> edges;
	int src1,  src2,  dest;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod00)
		{
			n = 6, edges = { {0,2,2},{0,5,6},{1,0,3},{1,4,5},{2,1,1},{2,3,3},{2,3,4},{3,4,2},{4,5,1} }, src1 = 0, src2 = 1, dest = 5;
			auto res = Solution().minimumWeight(n, edges, src1, src2, dest);
			AssertEx(9LL, res);
		}

		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			n = 3, edges = { {0,1,1},{2,1,1} }, src1 = 0, src2 = 1, dest = 2;
			auto res = Solution().minimumWeight(n, edges, src1, src2, dest);
			AssertEx(-1LL, res);
		}
	};
}

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。