【问题】
编号为1，2，3，4，5，6的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的六个座位，其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？
【来源】
《高考数学排列组合题型解题研究》P8 例26
原题是小球放盒子，这里把小球换成了人，盒子换成了座位。
【数学解法】
首先，选两个人（假定为5，6）坐到相同号码的座位上，有C(6,2)种方案；
剩下的1，2，3，4四个人，要求坐到和自己编号完全不同的座位上，若有一个相同便不成立；
其次，选一个人（假定为4）做到编号为1的座位上，有C(3,1)种方案；
现在是1，2，3三个人要做到2，3，4的座位上，简单列举一下知道有
1，2，3
1，3，2
2，1，3
2，3，1
3，1，2
3，2，1 共六种情况；
这六种里，第一位不能为2，第二位不能为3，因此只剩下：
1，2，3
3，1，2
3，2，1 共三种情况
综上，总的方案有C(6,2)*C(3,1)*3=15*3*3=135种
【程序解法】
程序解决此问题相对简单，思路是将6人全排列后，留下座位编号相同只有两个的就行了。代码如下：
主类代码：
package test241015;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* 编号为1，2，3，4，5，6的五个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6的五个座位
* 其中有且仅有两个人的编号与座位号一致的坐法有几种？
*
* 2024年10月15日
*/
public class Test241012 {
public static void main(String[] args) {
int[] nums= {1,2,3,4,5,6};
Arranger arger = new Arranger(nums,nums.length);
int idx = 0;
for (List<Integer> line : arger.getResults()) {
List<Integer> corrects=new ArrayList<>();
int count=0;
for(int i=0;i<6;i++) {
if(i+1==line.get(i)) {
count++;
corrects.add(i+1);
}
}
if(count==2) {
System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + line+" @"+corrects);
}
}
}
}全排列类代码：
package test241015;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* 用于产生排列结果的工具类
* 从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。得到所有排列的方案
*/
class Arranger {
// 保存在内部的对原始元素数组的引用
private int[] arr;
// 总计多少元素，此即数组长度
private final int n;
// 选多少个
private final int m;
// 返回结果
private List<List<Integer>> results;
/**
* 构造函数一
* 这个构造函数是用于全排列的（n=m=数组长度）
*
* @arr 原始元素数组
*/
public Arranger(int[] arr) {
this.arr = arr;
this.n = arr.length;
this.m = arr.length;
this.results = new ArrayList<>();
doArrange(new ArrayList<>());
}
/**
* 构造函数二
* 这个构造函数是用于部分排列的(m<n=数组长度)
*
* @param arr 原始元素数组
* @param selCnt 选多少个
*/
public Arranger(int[] arr, int selCnt) {
this.arr = arr;
this.n = arr.length;
this.m = selCnt;
if (m > n) {
throw new ArrayIndexOutOfBoundsException("m:" + m + " >n:" + n);
}
this.results = new ArrayList<>();
doArrange(new ArrayList<>());
}
/**
* 使用递归进行全排列，结果放在results中
*
* @param initialList 初始链表
*/
private void doArrange(List<Integer> initialList) {
List<Integer> innerList = new ArrayList<>(initialList);
if (m == initialList.size()) {
results.add(innerList);
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (innerList.contains(arr[i])) {
continue;
}
innerList.add(arr[i]);
doArrange(innerList);
innerList.remove(innerList.size() - 1);
}
}
/**
* 获得结果链表的引用
*
* @return
*/
public List<List<Integer>> getResults() {
return results;
}
// 测试
public static void main(String[] args) {
int[] numbers = {1, 2, 3, 4};
Arranger arranger = new Arranger(numbers);
System.out.println("四元素全排列示例:");
int idx = 0;
for (List<Integer> re : arranger.getResults()) {
System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re);
}
/*Arranger arranger2 = new Arranger(numbers, 2);
System.out.println("\n四选二排列示例:");
idx = 0;
for (List<Integer> re : arranger2.getResults()) {
System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re);
}*/
}
}【程序输出结果】
01.[1, 2, 4, 3, 6, 5] @[1, 2]
02.[1, 2, 4, 5, 6, 3] @[1, 2]
03.[1, 2, 4, 6, 3, 5] @[1, 2]
04.[1, 2, 5, 3, 6, 4] @[1, 2]
05.[1, 2, 5, 6, 3, 4] @[1, 2]
06.[1, 2, 5, 6, 4, 3] @[1, 2]
07.[1, 2, 6, 3, 4, 5] @[1, 2]
08.[1, 2, 6, 5, 3, 4] @[1, 2]
09.[1, 2, 6, 5, 4, 3] @[1, 2]
10.[1, 3, 2, 4, 6, 5] @[1, 4]
11.[1, 3, 2, 5, 4, 6] @[1, 6]
12.[1, 3, 2, 6, 5, 4] @[1, 5]
13.[1, 3, 4, 5, 2, 6] @[1, 6]
14.[1, 3, 4, 6, 5, 2] @[1, 5]
15.[1, 3, 5, 2, 4, 6] @[1, 6]
16.[1, 3, 5, 4, 6, 2] @[1, 4]
17.[1, 3, 6, 2, 5, 4] @[1, 5]
18.[1, 3, 6, 4, 2, 5] @[1, 4]
19.[1, 4, 2, 5, 3, 6] @[1, 6]
20.[1, 4, 2, 6, 5, 3] @[1, 5]
21.[1, 4, 3, 2, 6, 5] @[1, 3]
22.[1, 4, 3, 5, 6, 2] @[1, 3]
23.[1, 4, 3, 6, 2, 5] @[1, 3]
24.[1, 4, 5, 2, 3, 6] @[1, 6]
25.[1, 4, 5, 3, 2, 6] @[1, 6]
26.[1, 4, 6, 2, 5, 3] @[1, 5]
27.[1, 4, 6, 3, 5, 2] @[1, 5]
28.[1, 5, 2, 3, 4, 6] @[1, 6]
29.[1, 5, 2, 4, 6, 3] @[1, 4]
30.[1, 5, 3, 2, 6, 4] @[1, 3]
31.[1, 5, 3, 6, 2, 4] @[1, 3]
32.[1, 5, 3, 6, 4, 2] @[1, 3]
33.[1, 5, 4, 2, 3, 6] @[1, 6]
34.[1, 5, 4, 3, 2, 6] @[1, 6]
35.[1, 5, 6, 4, 2, 3] @[1, 4]
36.[1, 5, 6, 4, 3, 2] @[1, 4]
37.[1, 6, 2, 3, 5, 4] @[1, 5]
38.[1, 6, 2, 4, 3, 5] @[1, 4]
39.[1, 6, 3, 2, 4, 5] @[1, 3]
40.[1, 6, 3, 5, 2, 4] @[1, 3]
41.[1, 6, 3, 5, 4, 2] @[1, 3]
42.[1, 6, 4, 2, 5, 3] @[1, 5]
43.[1, 6, 4, 3, 5, 2] @[1, 5]
44.[1, 6, 5, 4, 2, 3] @[1, 4]
45.[1, 6, 5, 4, 3, 2] @[1, 4]
46.[2, 1, 3, 4, 6, 5] @[3, 4]
47.[2, 1, 3, 5, 4, 6] @[3, 6]
48.[2, 1, 3, 6, 5, 4] @[3, 5]
49.[2, 1, 4, 3, 5, 6] @[5, 6]
50.[2, 1, 5, 4, 3, 6] @[4, 6]
51.[2, 1, 6, 4, 5, 3] @[4, 5]
52.[2, 3, 4, 1, 5, 6] @[5, 6]
53.[2, 3, 5, 4, 1, 6] @[4, 6]
54.[2, 3, 6, 4, 5, 1] @[4, 5]
55.[2, 4, 1, 3, 5, 6] @[5, 6]
56.[2, 4, 3, 5, 1, 6] @[3, 6]
57.[2, 4, 3, 6, 5, 1] @[3, 5]
58.[2, 5, 1, 4, 3, 6] @[4, 6]
59.[2, 5, 3, 1, 4, 6] @[3, 6]
60.[2, 5, 3, 4, 6, 1] @[3, 4]
61.[2, 6, 1, 4, 5, 3] @[4, 5]
62.[2, 6, 3, 1, 5, 4] @[3, 5]
63.[2, 6, 3, 4, 1, 5] @[3, 4]
64.[3, 1, 4, 2, 5, 6] @[5, 6]
65.[3, 1, 5, 4, 2, 6] @[4, 6]
66.[3, 1, 6, 4, 5, 2] @[4, 5]
67.[3, 2, 1, 4, 6, 5] @[2, 4]
68.[3, 2, 1, 5, 4, 6] @[2, 6]
69.[3, 2, 1, 6, 5, 4] @[2, 5]
70.[3, 2, 4, 5, 1, 6] @[2, 6]
71.[3, 2, 4, 6, 5, 1] @[2, 5]
72.[3, 2, 5, 1, 4, 6] @[2, 6]
73.[3, 2, 5, 4, 6, 1] @[2, 4]
74.[3, 2, 6, 1, 5, 4] @[2, 5]
75.[3, 2, 6, 4, 1, 5] @[2, 4]
76.[3, 4, 1, 2, 5, 6] @[5, 6]
77.[3, 4, 2, 1, 5, 6] @[5, 6]
78.[3, 5, 1, 4, 2, 6] @[4, 6]
79.[3, 5, 2, 4, 1, 6] @[4, 6]
80.[3, 6, 1, 4, 5, 2] @[4, 5]
81.[3, 6, 2, 4, 5, 1] @[4, 5]
82.[4, 1, 2, 3, 5, 6] @[5, 6]
83.[4, 1, 3, 5, 2, 6] @[3, 6]
84.[4, 1, 3, 6, 5, 2] @[3, 5]
85.[4, 2, 1, 5, 3, 6] @[2, 6]
86.[4, 2, 1, 6, 5, 3] @[2, 5]
87.[4, 2, 3, 1, 6, 5] @[2, 3]
88.[4, 2, 3, 5, 6, 1] @[2, 3]
89.[4, 2, 3, 6, 1, 5] @[2, 3]
90.[4, 2, 5, 1, 3, 6] @[2, 6]
91.[4, 2, 5, 3, 1, 6] @[2, 6]
92.[4, 2, 6, 1, 5, 3] @[2, 5]
93.[4, 2, 6, 3, 5, 1] @[2, 5]
94.[4, 3, 1, 2, 5, 6] @[5, 6]
95.[4, 3, 2, 1, 5, 6] @[5, 6]
96.[4, 5, 3, 1, 2, 6] @[3, 6]
97.[4, 5, 3, 2, 1, 6] @[3, 6]
98.[4, 6, 3, 1, 5, 2] @[3, 5]
99.[4, 6, 3, 2, 5, 1] @[3, 5]
100.[5, 1, 2, 4, 3, 6] @[4, 6]
101.[5, 1, 3, 2, 4, 6] @[3, 6]
102.[5, 1, 3, 4, 6, 2] @[3, 4]
103.[5, 2, 1, 3, 4, 6] @[2, 6]
104.[5, 2, 1, 4, 6, 3] @[2, 4]
105.[5, 2, 3, 1, 6, 4] @[2, 3]
106.[5, 2, 3, 6, 1, 4] @[2, 3]
107.[5, 2, 3, 6, 4, 1] @[2, 3]
108.[5, 2, 4, 1, 3, 6] @[2, 6]
109.[5, 2, 4, 3, 1, 6] @[2, 6]
110.[5, 2, 6, 4, 1, 3] @[2, 4]
111.[5, 2, 6, 4, 3, 1] @[2, 4]
112.[5, 3, 1, 4, 2, 6] @[4, 6]
113.[5, 3, 2, 4, 1, 6] @[4, 6]
114.[5, 4, 3, 1, 2, 6] @[3, 6]
115.[5, 4, 3, 2, 1, 6] @[3, 6]
116.[5, 6, 3, 4, 1, 2] @[3, 4]
117.[5, 6, 3, 4, 2, 1] @[3, 4]
118.[6, 1, 2, 4, 5, 3] @[4, 5]
119.[6, 1, 3, 2, 5, 4] @[3, 5]
120.[6, 1, 3, 4, 2, 5] @[3, 4]
121.[6, 2, 1, 3, 5, 4] @[2, 5]
122.[6, 2, 1, 4, 3, 5] @[2, 4]
123.[6, 2, 3, 1, 4, 5] @[2, 3]
124.[6, 2, 3, 5, 1, 4] @[2, 3]
125.[6, 2, 3, 5, 4, 1] @[2, 3]
126.[6, 2, 4, 1, 5, 3] @[2, 5]
127.[6, 2, 4, 3, 5, 1] @[2, 5]
128.[6, 2, 5, 4, 1, 3] @[2, 4]
129.[6, 2, 5, 4, 3, 1] @[2, 4]
130.[6, 3, 1, 4, 5, 2] @[4, 5]
131.[6, 3, 2, 4, 5, 1] @[4, 5]
132.[6, 4, 3, 1, 5, 2] @[3, 5]
133.[6, 4, 3, 2, 5, 1] @[3, 5]
134.[6, 5, 3, 4, 1, 2] @[3, 4]
135.[6, 5, 3, 4, 2, 1] @[3, 4]【结论】
程序输出和理论结算结果一致，可以相互印证。
