与赫夫曼树的一些概念

赫夫曼树又叫作最优二叉树，它的特点是带权路径最短。

首先需要说明几个关于路径的概念：

• 1)路径:路径是指从树中一 个结点到另一个结点的分支所构成的路线。
• 2)路径长度:路径长度是指路径上的分支数目。
• 3)树的路径长度:树的路径长度是指从根到每个结点的路径长度之和。
• 4)带权路径长度:结点具有权值，从该结点到根之间的路径长度乘以结点的权值，就是该结点的带权路径长度。
• 5)树的带权路径长度（WPL）：树的带权路径长度是指树种所有叶子结点的带权路径长度之和。

赫夫曼树的构造方法

给定n个权值，用这n个权值来构造赫夫曼树的算法描述如下:

• 1)将这n个权值分别看作只有根结点的n棵二叉树，这些二叉树构成的集合记为F。
• 2)从F中选出两棵根结点的权值最小的树(假设为a、b)作为左、右子树，构造一棵新的二叉树(假设为c),新的二叉树的根结点的权值为左、右子树根结点权值之和。
• 3)从F中删除a、b,加入新构造的树C.
• 4)重复进行2)、3)两步，直到F中只剩下一棵树为止，这棵树就是赫夫曼树。

图解（图中结点下面的数字代表该结点的权值）：

赫夫曼树的特点

• 1)权值越大的结点，距离根结点越近。
• 2)树中没有度为1的结点。这类树又叫作正则(严格)二叉树。
• 3)树的带权路径长度最短。

赫夫曼编码

赫夫曼编码是对赫夫曼树的一种应用，赫夫曼编码用在文件压缩等方面。

下面用一个例子说明赫夫曼编码是如何对文件进行压缩的。如有一串字符“S=AAABBACCCDEEA”，自己选三位长度的二进制为各个字符进行编码，设置的编码规则如下：

A	B	C	D	E
000	001	010	011	100

根据上面的表可以将S串编码为：

T(S)=000000000001001000010010010011100100000

并将其存储在计算机种，用的时候按照上表进行解码得到S串。

上面的T(S)的长度为39，想办法将这个编码串变短些，就可以使用赫夫曼编码的方法来解决。

首先统计各个字符在字符串中的出现次数，如下表：

A	B	C	D	E
5次	2次	3次	1次	2次

以字符为根节点，以对应的出现次数为权值，构造一棵赫夫曼树，如下图：

 

则对A-E的赫夫曼编码规则如下表：

A	B	C	D	E
0	110	10	1110	1111

则串S的编码为：H(S)=00011011001010101110111111110。

上述由赫夫曼树导出每个字符的编码，进而得到对整个字符串的编码的过程称为赫夫曼编码。

H(S)串长度为29，比T(S)串短多了，会节约空间。

赫夫曼n叉树

赫夫曼二叉树是赫夫曼n叉树的一种特例， 对于结点数目大于等于2的待处理序列，都可以构造赫夫曼二叉树，但却不一定能构造赫夫曼n叉树。当发现无法构造时，需要补上权值为0的结点让整个序列凑成可以构造赫夫曼n叉树的序列。

如序列A(1)、B(3)、 C(4)、 D(6) (括号内为 权值)，就不能直接构造赫夫曼三叉树，需要补上一 个权值为0的结点。此时新结点序列为: H(0)、 A(1)、 B(3)、C(4)、 D(6)，这样就可以类比赫夫曼二叉树的构造方法，每次挑选权值最小的三个结点构造一棵三叉树， 以此类推，直到所有结点都被并入树中。

图解：