本文涉及知识点

C++动态规划
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

LeetCode3250. 单调数组对的数目 I

给你一个长度为 n 的 正 整数数组 nums 。
如果两个 非负 整数数组 (arr1, arr2) 满足以下条件，我们称它们是 单调 数组对：
两个数组的长度都是 n 。
arr1 是单调 非递减 的，换句话说 arr1[0] <= arr1[1] <= … <= arr1[n - 1] 。
arr2 是单调 非递增 的，换句话说 arr2[0] >= arr2[1] >= … >= arr2[n - 1] 。
对于所有的 0 <= i <= n - 1 都有 arr1[i] + arr2[i] == nums[i] 。
请你返回所有 单调 数组对的数目。
由于答案可能很大，请你将它对 10⁹ + 7 取余 后返回。
示例 1：
输入：nums = [2,3,2]
输出：4
解释：
单调数组对包括：
([0, 1, 1], [2, 2, 1])
([0, 1, 2], [2, 2, 0])
([0, 2, 2], [2, 1, 0])
([1, 2, 2], [1, 1, 0])
示例 2：
输入：nums = [5,5,5,5]
输出：126
提示：
1 <= n == nums.length <= 2000
1 <= nums[i] <= 50

动态规划

m = max(nums[i])

动态规划的状态表示

dp[i][j]表示：处理完nums[0…i-1]后，nums1[i-1]以j结尾的方案数。空间复杂度：O(nm)

动态规划的填表顺序

枚举前置状态。i = 0 to n-1 j = 0 to m

动态规划的转移方程

j1 = max( j,nums[i]-pre2) to nums[i]
pre2 = nums2[i-1]
单个状态的时间复杂度是：O(m)，总时间复杂度是：O(nmm)

动态规划的初始值

pre2 = 50,dp[0][0]=1,前天dp全部是0。

动态规划的返回值

dp.back()的和

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
		public:
			int countOfPairs(vector<int>& nums) {
				const int N = nums.size();
				const int M = *max_element(nums.begin(), nums.end());
				vector<vector<C1097Int<> >> dp(N + 1, vector<C1097Int<>>(M + 1));
				dp[0][0] = 1;
				int pre = 50;
				for (int i = 0; i < N; i++) {
					for (int j = 0; j <= M; j++) {
						const int j2 = pre - j;
						for (int k = max(j, nums[i] - j2); k <= nums[i]; k++) {
							dp[i + 1][k] += dp[i][j];
						}
					}
					pre = nums[i];
				}
				auto ans = accumulate(dp.back().begin(), dp.back().end(), C1097Int<>());
				return ans.ToInt();
			}
		};

单元测试

vector<int> nums;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			nums = { 2, 3, 2 };
			auto res = Solution().countOfPairs(nums);
			AssertEx(4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			nums = { 5,5,5,5 };
			auto res = Solution().countOfPairs(nums);
			AssertEx(126, res);
		}	

前缀和优化

nums[i+1][j] = nums[i][j1…j2] 的前置状态是nums[i][x]，则：
x <= j && ( pre - x) >= (nums[i]-j) && x >=0 && nums[j]-j >=0 $\to$
x <= pre - nums[i]+j && x <=j && x >= 0

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
		public:
			int countOfPairs(vector<int>& nums) {
				const int N = nums.size();
				const int M = *max_element(nums.begin(), nums.end());
				vector<vector<C1097Int<> >> dp(N + 1, vector<C1097Int<>>(M + 1));
				dp[0][0] = 1;
				int pre = 50;
				for (int i = 0; i < N; i++) {
					vector<C1097Int<>> preSum(1);
					for (int j = 0; j <= nums[i]; j++) {
						preSum.emplace_back(preSum.back() + dp[i][j]);		
						const int j2 = min(pre - nums[i] + j, j);
						if (j2 < 0)continue;
						dp[i + 1][j] += preSum[j2+1];
					}
					pre = nums[i];
				}
				auto ans = accumulate(dp.back().begin(), dp.back().end(), C1097Int<>());
				return ans.ToInt();
			}
		};