二、算法

2.1 二种算法的比较

算法和数据结构不分家

计算1到100的和

#include <stdio.h>
void main()
{
    int sum;
    for (int i = 0; i < 101; i++)
    {
        sum += i;
    }
    printf("%d",sum);
}

PS D:\C> cd "d:\C\" ; if ($?) { gcc a.c -o a } ; if ($?) { .\a }
5050

以上就是一种算法，但它是不是很好？是不是效率很高？

下面看少年时期的高斯是怎么算，1到100的和的

用代码实现

#include <stdio.h>
void main()
{
    int sum,n = 100;
    sum = (1+n)*n / 2;
    printf("%d",sum);
}
PS D:\C> cd "d:\C\" ; if ($?) { gcc a.c -o a } ; if ($?) { .\a }
5050

这是一种等差数列的算法

第一个写的算法，要计算机进行100次的循环才能计算出来

可以看出好的算法和烂的算法的差距

我只能说小母牛到南极，牛b到了极点

2.2 算法定义

算法算法就是这个题怎么算，特定问题求解步骤的描述，算题的方法，解决问题的步骤，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

刚才的例子我们也看到，对于给定的问题，是可以有多种算法来解决的。

现实世界中的问题千奇百怪，算法当然也就千变万化，没有通用的算法可以解决所有的问题。甚至解决一个小问题，很优秀的算法却不一定适合它。
算法定义中，提到了指令，指令能被人或机器等计算装置执行。它可以是计算机指令，也可以是我们平时的语言文字。

为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一
组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法了。

2.3 算法的特性

算法具有五个基本特性:输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

2.3.1 输入输出

输入和输出特性比较容易理解，算法具有零个或多个输入。尽管对于绝大多数算
法来说，输入参数都是必要的，但对于个别情况，如打印“hello world!"这样的代
码，不需要任何输入参数，因此算法的输入可以是零个。算法至少有一一个或多个输出，算法是一定需要输出的,不需要输出，你用这个算法干吗?输出的形式可以是打印输出，也可以是返回-一个或多个值等。

2.3.2 有穷性

有穷性:指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每
一个步骤在可接受的时间内完成。

现实中经常会写出死循环的代码，这就是不满足有穷性。当然这里有穷的概念并不是纯数学意义的，而是在实际应用当中合理的、可以接受的“有边界”。你说你写一个算法，计算机需要算上个二十年，一定会结束，它在数学意义上是有穷了，可是媳妇都熬成婆了，算法的意义也不就大了。

2.3.3 确定性

**确定性:算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。**算法在一定条件
下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯-一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。

2.3.4 可行性

可行性:算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限
次数完成。

**可行性意味着算法可以转换为程序上机运行，并得到正确的结果。**尽管在目前计算机界也存在那种没有实现的极为复杂的算法，不是说理论上不能实现，而是因为过于复杂，我们当前的编程方法、工具和大脑限制了这个工作,不过这都是理论研究领域的问题，不属于我们现在要考虑的范围。

2.4 算法设计的要求

2.4.1 正确性

正确性:算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、
能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

但是算法的“ 正确”通常在用法上有很大的差别，大体分为以下四个层次。

1.算法程序没有语法错误。
2.算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
4.算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果

2.4.2 可读性

可读性:算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

2.4.3 健壮性

一个好的算法还应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。比如输入的时间
或者距离不应该是负数等。
健壮性:当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名
其妙的结果。

2.4.4 时间效率高和存储量低

最后，好的算法还应该具备时间效率高和存储量低的特点。

时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决,
执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。

存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。在生活中，人们都希望花最少的钱，用最短的时间，办最大的事，算法也是一样的思想，最好用最少的存储空间，花最少的时间，办成同样的事就是好的算法。

书中举的例子实在是太好了！！！

综上，好的算法，应该是具有正确性，可读性，健壮性，高效率低存储量的特征

2.5 算法效率的度量方法

2.5.1 事后统计方法.

事后统计方法:这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

2.5.2 事前分析估算方法

我们的计算机前辈们，为了对算法的评判更科学，研究出了一种叫做事前分析估算的方法。

事前分析估算方法:在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算。

也就是说，抛开这些与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

显然，第一种算法，执行了1+ (n+1) +n+1次=2n+3 次;而第二种算法，是1+1+1=3次。

事实上两个算法的第一条和最后一条语句是一样的，所以我们关注的代码其实是中间的那部分,我们把循环看作一个整体，忽略头尾循环判断的开销，那么这两个算法其实就是n次与1次的差距。算法好坏显而易见。

可以从问题描述中得到启示，同样问题的输入规模是n,求和算法的第一种，求1+2+…+n需要一段代码运行n次。那么这个问题的输入规模使得操作数量是f (n)= n,显然运行100次的同一段代码规模是运算10次的10倍。

而第二种，无论n为多少，运行次数都为1，即f(n)=1;

第三种，运算100次是运算10次的100倍。因为它是f (n) =n^2

这一点也很好理解是吧！

2.6 函数的渐近增长

函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N, f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

总结：

随着n的增大,后面的+3还是+1其实是不影响最终的算法变化的，例如算法A’与算法B’ ,所以，我们可以忽略这些加法常数。后面的例子，这样的常数被忽略的意义可能会更加明显。

最高次项相乘的常数并不重要。

最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。

2.7 算法时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定 T( n )的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作: T (n)= O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写0( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大0记法。

一般情况下， 随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n), O(1), O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称，0(1)叫常数阶、0(n)叫线性阶、0(n2)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，之后会介绍

2.7.2 推导大0阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大0阶呢?

推导大O阶:

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶

哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，还需要多.看几个例子

2.7.3 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法(高斯算法)，为什么时间复杂度不是0(3)，而是0(1)。

int sum = 0,n = 100;  /*执行一次*/
sum =(1+n)*n/2; /*执行一次*/
printf ( "8d", sum) ; /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f (n) =3。 根据我们推导大0阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O（1）

如果有多条sum，那么它的时间复杂度依旧是O（1），也叫常数阶

注意:不管这个常数是多少，。我们都记作O(),而不能是O(3). O(12)等其他任何数字

2.7.4 线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码须要执行n次。

#include <stdio.h>
void main()
{
    int sum;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        sum += i;
    }
    printf("%d",sum);
}

2.7.5 对数阶

int count=1;
while(count< n)
{
count = count * 2;
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n,则会退出循环。由2^x=n 得到x=log2n。 所以这个循环的时间复杂度为
O(logn)。

2.7.6 平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为
O(n)。

for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            /* code */
        }
        
    }

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为0(n^2)。

下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢?

for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = i; j < n; j++)
        {
            /* code */
        }
        
    }

用我们推导大0阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑;第二条，只保留最高阶项，因此保留n2/2; 第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2, 最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

2.7.7 方法调用的时间复杂度分析

for (int i = 0; i < n; i++)    {        func(i)            }void func(int count){  printf(count);}

函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function 函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

如果调用函数的内容有个循环，那么时间复杂度为O（n^2）

根据大O阶的方法，代码的时间复杂度也是O（n^2)

2.8 常见的时间复杂度

n的n方阶时间复杂度耗费的时间是最多的，最小的是常数阶

2.9最坏情况与平均情况

找东西有运气好的时候，也有怎么也找不到的情况。但在现实中,通常我们碰到的绝大多数既不是最好的也不是最坏的，所以算下来是平均情况居多。

算法的分析也是类似，我们查找-一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一一个数字就是，那么算法的时间复杂度为0(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是0[n),这是最坏的一种情况了。

最坏情况运行时间是一种保证， 那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求， 通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。

​ 平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。
​ 对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下， 都是指最坏时间复杂度。

2.10 算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作: S(n)= Of(n), 其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

小例子理解

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一-点心思写 了一一个算法，而且由于是-一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另-“个办法就是，事先建立一个有2 050个元素的数组(年数略比现实多-点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1,如果不是值为0。这样，所谓的判断某一
年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多 少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧

2.11 总结

数据结构和算法不分家，就像罗密欧与茱莉亚，梁山伯与祝英台，杨过和小龙女…

算法的定义:算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性:有穷性、确定性、可行性、输入、输出。

算法的设计的要求:正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量需求。

算法特性与算法设计容易混，需要对比记忆。

算法的度量方法:事后统计方法(不科学、不准确)、事前分析估算方法。