1.二次型及矩阵表示

二次型的定义：
含有$n$个变量 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} x1​,x2​,⋯,xn​的$n$元二次齐次多项式 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = a 11 x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + a 22 x 2 2 + 2 a 23 x 2 x 3 + ⋯ + 2 a 2 n x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+a_{22}x_{2}^{2}+2a_{23}x_{2}x_{3}+\cdots +2a_{2n}x_{2}x_{n}+\cdots +a_{nn}x_{n}^{2} f(x1​,x2​,⋯,xn​)=a11​x12​+2a12​x1​x2​+2a13​x1​x3​+a22​x22​+2a23​x2​x3​+⋯+2a2n​x2​xn​+⋯+ann​xn2​称为一个$n$元二次型。
二次型的表示：
在二次型中取 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij​=aji​,则上述二次型可以写成
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots &a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2} &\cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=∑i=1n​∑j=1n​aij​xi​xj​=(x1​,x2​,⋯,xn​)⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎠⎟⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​=xTAx
其中$A$是对称矩阵，称为二次型$f$的矩阵，矩阵$A$的秩称为二次型$f$的秩。
二次型的标准型
若二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) f(x1​,x2​,⋯,xn​)中只有平方项，所有混合项的系数全为零，即 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x = d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax=d_{1}x_{1}^{2}+d_{2}x_{2}^{2}+\cdots +d_{n}x_{n}^{2} f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx=d1​x12​+d2​x22​+⋯+dn​xn2​，则称这样的二次型为标准型。在标准型中，正平方项的个数$p$为正惯性指数，负平方项的个数$q$称为负惯性指数。
注意，考研中可以利用正交变换和配方法来实现对二次型题目的求解。

2.合同矩阵

定义：
对于两个$n$解矩阵$A$和$B$，如果存在可逆矩阵$C$，使得 B = C T A C B=C^{T}AC B=CTAC,则称$A$和$B$合同，记作$A\simeq B$
性质：
(1)反身性：$A\simeq A$
(2)对称性:若$A\simeq B$,则$B\simeq A$
(3)传递性:若$A\simeq B$，$B\simeq C$，则$A\simeq C$
合同的充分和必要条件
(1)实对称矩阵$A\simeq B\iff$二次型 x T A x x^{T}Ax xTAx与 x T B x x^{T}Bx xTBx有相同的正负惯性指数。
(2)实对称矩阵$A\sim B\Rightarrow A\simeq B$,反之不成立。

3.正定矩阵

正定二次型和正定矩阵：
若对于任何的非零向量 x = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T} x=(x1​,x2​,⋯,xn​)T,恒有
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = x T A x > 0 f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}=x^{T}Ax>0 f(x1​,x2​,⋯,xn​)=∑i=1n​∑j=1n​aij​xi​xj​=xTAx>0
则称二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) f(x1​,x2​,⋯,xn​)为正定二次型，对应的矩阵$A$为正定矩阵。
注意： 可逆线性变换不改变二次型的正定性。

二次型正定的充要条件：
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\iff$$A$的正惯性指数$p=r=n$($r$是$A$的秩，$n$是未知量的个数)。
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\iff$$A\simeq E$,即存在可逆矩阵$C$，使得 C T A C = E C^{T}AC=E CTAC=E。
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\iff$ A = D T D A=D^{T}D A=DTD，其中$D$为可逆矩阵。
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\iff$$A$的全部特征值 λ i > 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , n \lambda _{i}> 0,i=1,2,\cdots ,n λi​>0,i=1,2,⋯,n
f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\iff$$A$的全部顺序主子式大于零
二次型正定的必要条件：
二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\Rightarrow$$A$的主对角元素 a i j > 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , n a_{ij}> 0,i=1,2,\cdots ,n aij​>0,i=1,2,⋯,n.。
二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x^{T}Ax f(x1​,x2​,⋯,xn​)=xTAx正定$\Rightarrow$$A$的行列式$|A|>0$。
结论：
(1)若$A,B$是正定阵，则$A+B$也是正定阵。
(2)若$A$是正定阵，则 A k A^{k} Ak也是正定阵，这里的$k$可以是负整数(此时 A k A^{k} Ak有意义)。
(3)若$A$是正定阵，则 A ∗ A^{*} A∗也是正定阵。