一、引言
全国大学生数学建模竞赛是全国高校学子展示数学应用能力的平台，每年吸引大量学生参与。在竞赛中，选手需要运用数学模型解决实际问题。2023年的D题“圈养湖羊的空间利用率”聚焦于湖羊养殖场的空间利用率优化，是典型的生产计划和资源优化问题。本文将基于该题，详细介绍如何建立模型，优化湖羊养殖场的生产计划。
二、问题分析
湖羊是国家级保护品种，具有早期生长快、四季发情等优良特性。养殖场需分群饲养湖羊，以适应不同阶段对空间的需求。养殖过程中，需考虑母羊的交配期、孕期、哺乳期和休整期，以及公羊和育肥期羔羊的需求。
问题1：年化出栏量与羊栏缺口估算
题目要求在不考虑不确定因素的情况下，确定合理的种公羊和基础母羊数量，并估算年化出栏羊只数量的范围。若养殖场希望每年出栏不少于1500只羊，则需要估算现有羊栏数量的缺口。
问题2：最大化年化出栏量的生产计划
在112个标准羊栏的限制下，制定具体的生产计划（包括种公羊与基础母羊的配种时机和数量、羊栏使用方案等），以最大化年化出栏量。
问题3：考虑不确定因素的生产计划
在现实中，母羊受孕率、孕期、羔羊死亡率等均具有不确定性，需要制定能应对多种情况的生产预案，以最小化空间损失。
三、解题思路
1. 模型假设与变量设定
- 假设1： 羊只生长过程中的各项时间周期是固定的（如孕期149天，哺乳期40天等）。
- 假设2： 各阶段的空间需求不变，不同阶段的羊只不能同栏。
- 假设3： 忽略羊只死亡、流产等影响出栏的因素。
- 变量定义：
- xxx：每批次进入交配期的基础母羊数量。
- ggg：批次之间的间隔天数。
- nnn：母羊工作周期，包括交配、孕期、哺乳和休整，共229天。
2. 问题1的建模与求解
目标： 估算在112个羊栏条件下，不同数量的基础母羊的年化出栏数量，并计算满足1500只年化出栏的羊栏缺口。
建模步骤：
-
单批次羊栏需求： 每批次母羊的工作周期是229天，包括交配期20天、孕期149天、哺乳期40天、空怀休整期20天。
-
计算单批次母羊的羊栏天数： 根据每阶段母羊的数量限制（如每栏最多14只基础母羊、8只孕母羊等），计算单个周期内所有批次母羊的羊栏需求。
-
年化出栏数量： 通过循环批次安排，使羊栏的使用量接近稳定，推导年化出栏数量。
-
估算羊栏缺口： 若年化出栏数量目标为1500只，根据当前出栏数量估算缺口的羊栏数量。
计算结果：
- 单个批次母羊的年化出栏数量范围为1163至1312只。
- 若年化出栏目标为1500只，羊栏缺口在16至32之间。
3. 问题2的建模与优化
目标： 在112个羊栏的限制下，制定生产计划，使得年化出栏数量最大化。
建模步骤：
-
变量设定： 设置决策变量为批次间隔 ggg 和每批次母羊数量 xxx，目标是最大化年化出栏数量。
-
建立规划模型： 该模型是一个非线性整数规划问题，需要考虑到羊栏数量的约束。
-
模型简化： 固定间隔 ggg 和每批次母羊数量 xxx，简化后仅需遍历这两个变量以寻找最优解。
-
求解最优方案： 通过遍历不同的批次间隔和母羊数量，找到在112个羊栏的限制下最大化年化出栏数量的方案。
优化结果：
- 最优方案为9只公羊和408只母羊（其中第一批48只，后续每批40只），批次间隔22天。
- 年化出栏数量为1224只，羊栏利用率达到97.38%。
4. 问题3的建模与不确定性处理
目标： 考虑不确定因素（如受孕率、孕期长度波动等），制定最小化期望损失的生产计划。
建模步骤：
-
随机模拟： 通过蒙特卡罗模拟处理受孕率和孕期长度的波动，生成多种生产情况。
-
决策变量： 每批次进入交配期的基础母羊数量 xxx 和生产间隔 ggg。
-
优化目标： 计算每种可能方案的期望损失，并选择期望损失最小的方案。
优化结果：
- 通过模拟，发现每批次母羊数量为40只时，期望损失最小，日均损失为3.79。
- 对应的年化出栏数量为1116只，方案稳定且羊栏利用率较高。
四、知识点解析
1. 线性规划与非线性规划
- 线性规划： 主要用于线性约束和目标函数的问题，在本文问题1中，通过线性规划求解出羊栏的利用情况。
- 非线性规划： 当目标函数或约束条件为非线性时，需采用非线性规划。本文问题2即为一个典型的非线性规划问题。
2. 动态规划
- 动态规划： 用于解决多阶段决策问题。本文问题3涉及到对不确定因素的应对，通过动态规划的方法建立多种备选方案。
3. 蒙特卡罗模拟
- 蒙特卡罗模拟： 用于处理不确定性和随机变量。本文问题3使用蒙特卡罗方法模拟不同的受孕率和孕期长度情景，估算出各方案的期望损失。
五、MATLAB代码示例
以下是问题2的MATLAB代码示例，用于计算年化出栏数量的最优生产计划：
% MATLAB代码示例：问题2 - 年化出栏数量最大化
clear;
pp = 4; % 周期数
g(1:10) = 22; % 批次之间的间隔天数
p = [20, 149, 40, 20]; % 母羊各状态持续时间
k = 10; % 总批次数量
p5 = 210; % 羔羊育肥期持续时间
x(1:k) = 40; x(1) = 48; % 各批次母羊数量
m = ceil(sum(x) / 50); % 公羊数量
m2 = ceil(m/4); % 非交配期空闲公羊占用栏数
% 初始化
t(1:k,1:4*pp + 1) = 0; % 时间节点
T(1:k,1:2*pp) = 0;
% 第1批次时间节点计算
t(1,1) = 1; % 初始时刻
for j = 2:5 % 计算第1至6时间节点
t(1,j) = t(1,j - 1) + p(j - 1);
end
T(1,1) = t(1,4); T(1,2) = t(1,4) + p5;
% 后续周期时间节点计算
for i = 2:pp
t(1,4 * (i - 1) + 2 : 4 * i + 1) = t(1,4 * (i - 2) + 2 : 4 * (i - 1) + 1) + sum(p);
T(1,2 * (i - 1) + 1 : 2 * i) = T(1,2 * (i - 2) + 1 : 2 * (i - 1)) + sum(p);
end
% 计算母羊状态
deltaij(1:k,1:4,1:1000) = 0; % 初始化0-1变量
for l = 1:1000
for i = 1:k
kk = find(t(i,:) <= l,1,"last");
j = 1 + mod((kk - 1),4);
deltaij(i,j,l) = 1;
end
end
% 羔羊状态计算
deltai_bar(1:k,1:1000) = 0; % 初始化0-1变量
for l = 1:1000
for i = 1:k
kk = find(T(i,:) <= l,1,"last");
if mod(kk,2) == 1
deltai_bar(i,l) = 1;
end
end
end
% 公羊状态计算
Delta(1:1000) = 0; % 初始化0-1变量
for l = 1:1000
Delta(l) = max(deltaij(:,1,l));
end
% 计算羊栏需求
N(1:1000) = 0;
for l = 1:1000
N1 = 0; N2 = 0;
for i = 1:k
[n1,m1] = numjp(x(i),m);
n = [n1 + m1, ceil(x(i) / 8), ceil(x(i) / 6), ceil(x(i) / 14)];
for j = 1:4
N1 = N1 + ceil(deltaij(i,j,l) * n(j));
end
end
N(l) = N1 + m2 * Delta(l);
end
% 输出结果
disp(['年化出栏数量为: ', num2str(sum(x))]);
disp(['羊栏最大需求数为: ', num2str(max(N))]);
六、总结与建议
本文通过详细分析和建模，探讨了湖羊养殖场空间利用率的优化问题。通过科学的建模和优化方法，参赛者可以高效解决实际问题，并在全国大学生数学建模竞赛中取得优异成绩。建议参赛者在备赛中注重以下几点：
- 加强数学建模基础：熟悉线性和非线性规划、动态规划等数学工具。
- 精通编程工具：掌握MATLAB、Python等编程语言，能快速实现模型和算法。
- 多做历年竞赛题目：通过实践提升建模和解题能力。
- 重视团队合作与时间管理：合理分工，统筹安排，确保每个环节顺利完成。
预祝各位参赛者在2024年的全国大学生数学建模竞赛中取得佳绩！
