一、引言
全国大学生数学建模竞赛是培养学生数学应用能力的重要赛事，每年吸引大量参赛者。2023年竞赛B题以“多波束测线布设优化”为主题，涉及海洋测绘领域的复杂几何与优化问题。本文结合该题，详细讨论如何建立模型并求解，以优化多波束测线布设方案。我们将涵盖问题分析、解题思路、知识点解析以及MATLAB代码示例，帮助参赛者备战2024年的竞赛。
二、问题分析
多波束测深系统在水深测量中能够同时获取多个相邻窄波束，形成条带式海底地形数据，从而实现高效测绘。2023年B题要求通过建模来优化测线布设，主要包括以下四个问题：
- 问题1： 计算在特定条件下的海水深度、覆盖宽度及相邻条带的重叠率。
- 问题2： 在已知坡面法向投影角度的情况下，计算特定位置的覆盖宽度。
- 问题3： 为矩形海域设计最短的测线方案，确保完全覆盖和合理重叠率。
- 问题4： 基于单波束测深数据，设计多波束测量的测线方案，确保测量完整性和效率。
三、解题思路
1. 问题1：覆盖宽度及重叠率的计算
目标： 在海底坡度已知的情况下，计算多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间的重叠率。
建模步骤：
- 三维坐标系建立： 以海域中心为原点，建立三维直角坐标系，分别表示测线方向、测线间距和水深。
- 海水深度计算： 通过相似三角形原理计算海水深度，利用几何关系推导出关键角度与覆盖宽度的关系。
- 重叠率计算： 根据覆盖宽度和测线间距，推导出相邻条带之间的重叠率公式。
2. 问题2：不同测线方向的覆盖宽度
目标： 在已知测线方向与坡面法向夹角的条件下，计算覆盖宽度。
建模步骤：
- 矢量分析： 利用向量叉乘求解测线方向与水平面投影的夹角，进而计算海水深度和覆盖宽度。
- 角度调整： 考虑不同测线方向与坡面的夹角，利用正弦定理计算覆盖宽度的变化。
3. 问题3：测线布设的单目标优化
目标： 设计一组测线，确保最短总长度的同时，实现完全覆盖并满足重叠率要求。
建模步骤：
- 测线方向选择： 通过数学证明，确定测线方向应平行于等深线。
- 单目标优化： 以测线总长度最短为目标，建立单目标优化模型，约束条件为覆盖面积和重叠率范围。
- 算法求解： 基于贪心算法逐步优化测线布设，确保求解的合理性与效率。
4. 问题4：基于单波束数据的多波束测线设计
目标： 在复杂地形的海域，基于单波束测深数据设计多波束测线方案，确保高效测量。
建模步骤：
- 海域划分与拟合： 依据海底地形的复杂度，将海域划分为多个矩形区域，利用最小二乘法拟合坡面方程。
- 粒子群优化： 利用粒子群算法优化测线布设，确保整体测量的效率和完整性。
四、知识点解析
1. 几何与向量分析
- 相似三角形与正弦定理： 用于计算海水深度、覆盖宽度与角度关系。
- 向量分析与叉乘： 用于确定不同测线方向与水平面夹角，从而影响覆盖宽度。
2. 优化算法
- 贪心算法： 用于逐步优化测线布设，确保最短路径和最优重叠率。
- 粒子群优化算法： 通过随机扰动和全局搜索，优化复杂海域的测线布设。
3. 模拟退火
- 模拟退火算法： 通过随机优化搜索，避免局部最优解，确保测线布设的全局最优。
五、MATLAB代码示例
以下是问题1的MATLAB代码示例，用于计算海水深度、覆盖宽度与重叠率：
clear;
alpha = 1.5; % 海底坡度 (degrees)
theta = 120; % 开角 (degrees)
D0 = 70; % 海域中心处水深 (m)
y = linspace(-800, 800, 9); % 距离中心点的测线位置
% 计算海水深度
D = D0 - y * tand(alpha);
% 计算覆盖宽度
W = 2 * D .* sind(theta / 2) ./ sind(90 - alpha - theta / 2);
% 计算重叠率
d = 200; % 测线间距 (m)
HF = W - d .* cosd(alpha);
eta = HF ./ W;
% 输出结果
result_table = table(y', D', W', eta', 'VariableNames', {'距离', '水深', '覆盖宽度', '重叠率'});
disp(result_table);
结果分析：
- 海水深度与覆盖宽度： 随测线距离中心的增大，海水深度和覆盖宽度减少。
- 重叠率： 深水区重叠率较大，浅水区出现负值，表明有漏测风险。
六、总结与建议
本文详细分析了多波束测线布设问题，并提供了相应的模型建立与求解思路。通过优化算法和MATLAB编程，参赛者可以有效解决实际测绘问题。在备战2024年竞赛中，建议参赛者重点关注：
- 模型建立与求解： 熟练掌握几何分析与优化算法，确保模型的科学性与解法的准确性。
- 工具使用： 熟悉MATLAB编程，能快速实现模型求解与结果分析。
- 团队合作与时间管理： 在竞赛中合理分工与协作，确保各项任务的高效完成。
预祝各位参赛者在2024年全国大学生数学建模竞赛中取得优异成绩！
