乘性函数的详解：

在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。　　

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。

若对于某积性函数a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。[1]

因子和函数与因子个数函数都是乘性函数。

因子和：

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数 //特别重要的性质

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

T(p^n)=n+1;//因子的个数

定理：设正整数n的所有素因子分解n=p1^a1*p2^a2*p3^a3****Ps^as,那么

s(n)=[（p1^a1+1 -1)/(p1-1)]*[（p2^a2+1 -1)/(p2-1)]*[（p3^a3+1 -1)/(p3-1)]***[（ps^as+1 -1)/(ps-1)];

T(n)=(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)***(an+1);

个数：

1. N的因子个数

条件：给定任意一个一个正整数N

要求：求其因子的个数

首先给出结论：对于任意的整型N，分解质因数得到N= P1^x1 * P2^x2* …… * Pn^xn;

则N的因子个数M为 M=（x1+1） * （x2+1） * …… *（xn+1）;

证明过程：

首先 举个例子吧

24 = 2^3 * 3^1；

其质因子有：为2和3  指数为 3和1

那么对于2 有0 1 2 3四种指数选择，对于3 有0 1两种指数选择

所以 就是4 * 2 = 8 个因子个数

如果还是不懂，那么我们就列举出来吧

2 3

2^0*3^0=1             2^0*3^1=3

2^1*3^0=2             2^1*3^1=6

2^2*3^0=4             2^2*3^1=12

2^3*3^0=8             2^3*3^1=24

结果很清晰了吧？？其实这里用到了数学的排列组合的知识

也就是说每一个质因子的不同指数幂与其它质因子相乘，得到的结果一定不会重复

因此能够将所有的因子都列举出来。

所以N的因子数M，我们可以用M=（x1+1） * （x2+1） * …… *（xn+1）表示

 2.求n!中含有某个因子个数的方法

2. N！的因子个数

有上面的结论,这个问题就变得明朗多了吧？嘿嘿，不要着急，这里面还有许多细节问题需要我们考虑。

a.  最大的质因子一定不会大于N

b.  N的质因子并不完全包含N！所有的质因子

至于原因是什么，自己想想吧，嘿嘿

那我们就直接说思路了：

首先，我们可以把所有的N以内的质数给打表求出来

然后，求每一个质因子的指数个数，这里用到了一个公式，：

 其中[]为取整

附：这一步最近又想到了一个更好的方法  怎么样？？ 

 （想一想为什么，实在想不通你就举个例子试一下）

最后，就是套公式计算了，M=（e1+1）*（e2+1）*……*（en+1）

算了，还是举个例子吧

比如5！

质因子2的指数是 2+1=3；

质因子3的指数是 1；

质因子5的指数是 1；

所以因子个数为 4 * 2 * 2 = 16

5！=120 因子有1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 4060 120  刚好16

求n的阶乘某个因子a的个数，如果n比较小，可以直接算出来，但是如果n很大，此时n!超出了数据的表示范围，这种直接求的方法肯定行不通。其实n!可以表示成统一的方式。

n!=(k^m)*(m!)*a   其中k是该因子，m=n/k，a是不含因子k的数的乘积

下面推导这个公式

n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1

   =(k*2k*3k.....*mk)*a      a是不含因子k的数的乘积，显然m=n/k;

   =(k^m)*(1*2*3...*m)*a

   =k^m*m!*a

接下来按照相同的方法可以求出m!中含有因子k的个数。

因此就可以求出n!中因子k的个数

int count(int n,int k)
{
    int num=0;
    while(n)
    {
        num+=n/k;
        n/=k;
    }
    return num;
}

3．给定数列的乘积因子个数

其实这个也是基于第一个结论得到的。

给定 a1 a2 a3 …… an;

我们可以找到最大的一个元素Max(a);

把Max以内的素数打表

然后把质因子清零，进行如下循环，就可以找到各个质因子的个数：

for（a=1；a<=n;a++）

for(p=1;p<_;p++ )

 if(__) e(p)++;

这样质因子的质数个数就求出来了，然后就可以根据公式M=（e1+1）*（e2+1）*……*（en+1）求出因子个数