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    给定两个长度为N的数组,a[]和b[] 也就是对于每个位置i来说,有a[i]和b[i]两个属性 i a[i] b[i] j a[j] b[j]

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    给定两个长度为N的数组,a[]和b[] 也就是对于每个位置i来说,有a[i]和b[i]两个属性 i a[i] b[i] j a[j] b[j]

    2024-05-08 08:07:13 阅读次数:43

    i++,数组

    给定两个长度为N的数组,a[]和b[] 也就是对于每个位置i来说,有a[i]和b[i]两个属性 i a[i] b[i] j a[j] b[j] 现在想为了i,选一个最好的j位置,搭配能得到最小的如下值: (a[i] + a[j]) ^ 2 + b[i] + b[j] 我们把这个最小的值,定义为i的最in值 比如 : a = { 2, 3, 6, 5, 1 } b = { 100, 70, 20, 40, 150 } 0 1 2 3 4 0位置和2位置搭配,可以得到最in值 : 184 1位置和2位置搭配,可以得到最in值 : 171 2位置和1位置搭配,可以得到最in值 : 171 3位置和1位置搭配,可以得到最in值 : 174 4位置和2位置搭配,可以得到最in值 : 219 注意 : i位置可以和i位置(自己)搭配,并不是说i和j一定要是不同的位置 返回每个位置i的最in值 比如上面的例子,最后返回[184, 171, 171, 174, 219] 1 <= N <= 10^5 1 <= a[i]、b[i] <= 10^9 来自第四届全国大学生算法设计与编程挑战赛(秋季赛)。

    题目描述:给定两个长度为 N 的数组 a[] 和 b[],对于每个位置 i,有 a[i] 和 b[i] 两个属性。现在想为了 i,选一个最优的 j 位置,搭配能得到最小的值 (a[i]+a[j])^2+b[i]+b[j]。定义这个最小的值为 i 的最 in 值。求返回每个位置 i 的最 in 值。

    解法一:暴力法

    1. 遍历数组 a 和 b,依次计算出每个位置 i 和 j 的最 in 值。
    2. 对于每个位置 i,遍历数组 a 和 b,计算出所有的最小值。
    3. 返回所有位置的最小值。

    时间复杂度:O(N^2)。

    空间复杂度为 O(N),因为需要存储数组 ans。

    解法二:正式方法

    1. 计算出每个位置 S(j)=2a[j] 和 T(j)=a[j]^2+b[j]。
    2. 将所有位置按照 S(j) 从大到小排序。
    3. 新建一个栈,对每个位置 i 进行遍历,找到最好的 j 位置,使得 S(j)+T(j)/a[i] 最小,并将其压入栈中。
    4. 将所有位置按照 a 值从大到小排序。
    5. 对每个位置 i 进行遍历,寻找最好的 j 位置,计算出最小的值,返回所有位置的最小值。

    时间复杂度:O(N*logN)。

    空间复杂度为 O(N),因为需要存储数组 st、stack 和 arr。其中,st 数组用于存储 S(j) 和 T(j) 的值,stack 数组用于实现单调栈,arr 数组用于排序和计算答案。

    注意事项:

    1. 在第三步中,需要使用单调栈来寻找最好的 j 位置。
    2. 在第五步中,可以通过数学公式推导得到最小值,而不需要逐一计算每个位置的最小值。

    go完整代码如下:

    package main
    
    import (
    	"fmt"
    	"math"
    	"math/rand"
    	"sort"
    	"time"
    )
    
    // 暴力方法
    // 时间复杂度O(N^2)
    // 为了测试
    func inValues1(a []int, b []int) []int64 {
    	n := len(a)
    	ans := make([]int64, n)
    	for i := 0; i < n; i++ {
    		curAns := int64(math.MaxInt64)
    		for j := 0; j < n; j++ {
    			cur := int64((a[i]+a[j])*(a[i]+a[j]) + b[i] + b[j])
    			curAns = min(curAns, cur)
    		}
    		ans[i] = curAns
    	}
    	return ans
    }
    
    func min(x, y int64) int64 {
    	if x < y {
    		return x
    	}
    	return y
    }
    
    // 正式方法
    // 时间复杂度O(N*logN)
    // (a[i] + a[j]) ^ 2 + b[i] + b[j]
    // a[i]^2 + b[i] + 2a[i]a[j] + a[j]^2 + b[j]
    // a[i] * ( a[i] + b[i]/a[i] + 2a[j] + (a[j]^2 + b[j])/a[i])
    // 令S(j) = 2a[j]
    // 令T(j) = a[j]^2 + b[j]
    // 那么对于i来说,就是选择j,让下面得到最小值
    // a[i] * ( a[i] + b[i]/a[i] + S(j) + T(j)/a[i])
    // 选择最小的S(j) + T(j)/a[i],就得到了答案
    // 剩下的一切都是围绕这个
    func inValues2(a []int, b []int) []int64 {
    	n := len(a)
    	// i a[i] b[i]
    	// i s[i] t[i]
    	st := make([][2]int64, n)
    	for i := 0; i < n; i++ {
    		st[i][0] = 2 * int64(a[i])
    		st[i][1] = int64(a[i]*a[i]) + int64(b[i])
    	}
    	// 只需要根据S值从大到小排序即可
    	// 下面的比较器定义稍复杂,因为go里没有泛型sort,只能自己写
    	// 所以策略参考了S和T,其实只需要根据S值从大到小排序即可
    	sort.Slice(st, func(i, j int) bool {
    		if st[i][0] != st[j][0] {
    			return st[i][0] > st[j][0]
    		}
    		return st[i][1] <= st[j][1]
    	})
    	stack := make([]int, n)
    	r := 0
    	for i := 0; i < n; i++ {
    		// s 大 -> 小
    
    		s := st[i][0]
    		t := st[i][1]
    		for r > 0 && tail(st, stack, r) >=
    			better(st[stack[r-1]][0], st[stack[r-1]][1], s, t) {
    			r--
    		}
    		stack[r] = i
    		r++
    	}
    	arr := make([][3]int, n)
    	for i := 0; i < n; i++ {
    		arr[i][0] = i
    		arr[i][1] = a[i]
    		arr[i][2] = b[i]
    	}
    	// 只需要根据a值从大到小排序即可
    	sort.Slice(arr, func(i, j int) bool {
    		if arr[i][1] != arr[j][1] {
    			return arr[i][1] > arr[j][1]
    		}
    		return arr[i][0] < arr[j][0]
    	})
    	ans := make([]int64, n)
    	for k := 0; k < n; k++ {
    		i := arr[k][0]
    		ai := arr[k][1]
    		bi := arr[k][2]
    		for tail(st, stack, r) > int64(ai) {
    			r--
    		}
    		sj := st[stack[r-1]][0]
    		tj := st[stack[r-1]][1]
    		// a[i] * ( a[i] + b[i]/a[i] + S(j) + T(j)/a[i])
    		curAns := sj*int64(ai) + tj + int64(ai)*int64(ai) + int64(bi)
    		ans[i] = curAns
    	}
    	return ans
    }
    
    func tail(st [][2]int64, deque []int, r int) int64 {
    	if r == 1 {
    		return 1
    	}
    	return better(st[deque[r-2]][0], st[deque[r-2]][1], st[deque[r-1]][0], st[deque[r-1]][1])
    }
    
    // 入参时候s1>=s2,这是一定的
    // 返回当ai大到什么值的时候,(s2+t2/ai) <= (s1+t1/ai)
    // 即 : ai大
    func better(s1, t1, s2, t2 int64) int64 {
    	if s1 == s2 {
    		if t1 <= t2 {
    			return math.MaxInt64
    		}
    		return 1
    	}
    	// s1 > s2
    	if t1 >= t2 {
    		return 1
    	}
    	// s1 > s2
    	// t1 < t2
    	td := t2 - t1
    	sd := s1 - s2
    	return (td + sd - 1) / sd
    }
    
    // 为了测试
    func randomArray(n, v int) []int {
    	ans := make([]int, n)
    	for i := 0; i < n; i++ {
    		ans[i] = rand.Intn(v) + 1
    	}
    	return ans
    }
    
    // 为了测试
    func isSameArray(arr1, arr2 []int64) bool {
    	for i := 0; i < len(arr1); i++ {
    		if arr1[i] != arr2[i] {
    			return false
    		}
    	}
    	return true
    }
    
    // 为了测试
    func main() {
    	N := 100
    	A := 100
    	B := 50000
    	testTime := 50000
    	fmt.Println("功能测试开始")
    	for i := 0; i < testTime; i++ {
    		n := rand.Intn(N) + 1
    		a := randomArray(n, A)
    		b := randomArray(n, B)
    		ans1 := inValues1(a, b)
    		ans2 := inValues2(a, b)
    		if !isSameArray(ans1, ans2) {
    			fmt.Println("出错了!")
    		}
    	}
    	fmt.Println("功能测试结束")
    
    	fmt.Println("性能测试开始")
    	n := 100000
    	v := 1000000000
    	a := randomArray(n, v)
    	b := randomArray(n, v)
    	fmt.Println("数组长度 : ", n)
    	fmt.Println("数值范围 : ", v)
    	start := time.Now()
    	inValues2(a, b)
    	end := time.Now()
    	fmt.Println("运行时间 : ", end.Sub(start).Milliseconds(), " 毫秒")
    	fmt.Println("性能测试结束")
    }

    2022-04-25:给定两个长度为N的数组,a[]和b[] 也就是对于每个位置i来说,有a[i]和b[i]两个属性 i a[i] b[i] j a[j] b[j] 现在想为了i,选一个最

    rust完整代码如下:

    use std::time::Instant;
    
    // 暴力方法
    // 时间复杂度O(N^2)
    // 为了测试
    fn in_values1(a: &Vec<i32>, b: &Vec<i32>) -> Vec<i64> {
        let n = a.len();
        let mut ans = vec![0; n];
        for i in 0..n {
            let mut cur_ans = i64::MAX;
            for j in 0..n {
                let cur = (a[i] + a[j]).pow(2) as i64 + b[i] as i64 + b[j] as i64;
                cur_ans = cur_ans.min(cur);
            }
            ans[i] = cur_ans;
        }
        ans
    }
    
    // 正式方法
    // 时间复杂度O(N*logN)
    // (a[i] + a[j]) ^ 2 + b[i] + b[j]
    // a[i]^2 + b[i] + 2a[i]a[j] + a[j]^2 + b[j]
    // a[i] * ( a[i] + b[i]/a[i] + 2a[j] + (a[j]^2 + b[j])/a[i])
    // 令S(j) = 2a[j]
    // 令T(j) = a[j]^2 + b[j]
    // 那么对于i来说,就是选择j,让下面得到最小值
    // a[i] * ( a[i] + b[i]/a[i] + S(j) + T(j)/a[i])
    // 选择最小的S(j) + T(j)/a[i],就得到了答案
    // 剩下的一切都是围绕这个
    
    fn in_values2(a: &Vec<i32>, b: &Vec<i32>) -> Vec<i64> {
        let n = a.len();
        let mut st = vec![vec![0; 2]; n];
        for i in 0..n {
            st[i][0] = (a[i] * 2) as i64;
            st[i][1] = (a[i] * a[i] + b[i]) as i64;
        }
        st.sort_by(|x, y| {
            if x[0] != y[0] {
                y[0].cmp(&x[0])
            } else {
                x[1].cmp(&y[1])
            }
        });
        let mut stack = vec![0; n];
        let mut r = 0;
        for i in 0..n {
            let s = st[i][0];
            let t = st[i][1];
            while r > 0
                && tail(&st, &stack, r)
                    >= better(
                        st[stack[(r - 1) as usize] as usize][0],
                        st[stack[(r - 1) as usize] as usize][1],
                        s,
                        t,
                    )
            {
                r -= 1;
            }
            stack[r as usize] = i as i32;
            r += 1;
        }
        let mut arr = vec![(0, 0, 0); n];
        for i in 0..n {
            arr[i] = (i, a[i], b[i]);
        }
        arr.sort_by(|x, y| {
            if x.1 != y.1 {
                y.1.cmp(&x.1)
            } else {
                x.0.cmp(&y.0)
            }
        });
        let mut ans = vec![0; n];
        for k in 0..n {
            let i = arr[k].0;
            let ai = arr[k].1;
            let bi = arr[k].2;
            while tail(&st, &stack, r as i32) > ai {
                r -= 1;
            }
            let sj = st[stack[(r - 1) as usize] as usize][0];
            let tj = st[stack[(r - 1) as usize] as usize][1];
            let cur_ans = sj * ai as i64 + tj + ai as i64 * ai as i64 + bi as i64;
            ans[i] = cur_ans;
        }
        ans
    }
    
    // 返回当ai大到什么值的时候,后者更好
    fn tail(st: &Vec<Vec<i64>>, deque: &Vec<i32>, r: i32) -> i32 {
        if r == 1 {
            return 1;
        }
    
        let (s1, t1) = (
            st[deque[r as usize - 2] as usize][0],
            st[deque[r as usize - 2] as usize][1],
        );
        let (s2, t2) = (
            st[deque[r as usize - 1] as usize][0],
            st[deque[r as usize - 1] as usize][1],
        );
        better(s1, t1, s2, t2)
    }
    
    // 入参时候s1>=s2,这是一定的
    // 返回当ai大到什么值的时候,(s2+t2/ai) <= (s1+t1/ai)
    // 即 : ai大到什么值的时候,后者更好
    fn better(s1: i64, t1: i64, s2: i64, t2: i64) -> i32 {
        if s1 == s2 {
            if t1 <= t2 {
                std::i32::MAX
            } else {
                1
            }
        } else if t1 >= t2 {
            1
        } else {
            // s1 > s2
            let td = t2 - t1;
            let sd = s1 - s2;
            ((td + sd - 1) / sd) as i32
        }
    }
    
    fn random_array(n: usize, v: i32) -> Vec<i32> {
        let mut ans = vec![0; n];
        for i in 0..n {
            ans[i] = (rand::random::<usize>() % (v as usize) + 1) as i32;
        }
        ans
    }
    
    fn is_same_array(arr1: &Vec<i64>, arr2: &Vec<i64>) -> bool {
        if arr1.len() != arr2.len() {
            return false;
        }
        for i in 0..arr1.len() {
            if arr1[i] != arr2[i] {
                return false;
            }
        }
        true
    }
    
    fn main() {
        let n = 100;
        let a = 100;
        let b = 50000;
        let test_time = 50000;
    
        println!("功能测试开始");
        for _ in 0..test_time {
            let n = rand::random::<usize>() % n + 1;
            let a = random_array(n, a);
            let b = random_array(n, b);
    
            let ans1 = in_values1(&a, &b);
            let ans2 = in_values2(&a, &b);
    
            assert!(is_same_array(&ans1, &ans2));
        }
        println!("功能测试结束");
    
        println!("性能测试开始");
        let n = 100000;
        let v = 10000;
        let a = random_array(n, v);
        let b = random_array(n, v);
        println!("数组长度 : {}", n);
        println!("数值范围 : {}", v);
    
        let start = Instant::now();
        let c = in_values2(&a, &b);
        let end = start.elapsed();
    
        println!("运行时间 : {:?}", end);
        println!("性能测试结束");
    }

    2022-04-25:给定两个长度为N的数组,a[]和b[] 也就是对于每个位置i来说,有a[i]和b[i]两个属性 i a[i] b[i] j a[j] b[j] 现在想为了i,选一个最

    版权声明:本文内容来自第三方投稿或授权转载,原文地址:https://blog.51cto.com/moonfdd/6225496,作者:福大大架构师每日一题,版权归原作者所有。本网站转在其作品的目的在于传递更多信息,不拥有版权,亦不承担相应法律责任。如因作品内容、版权等问题需要同本网站联系,请发邮件至ctyunbbs@chinatelecom.cn沟通。

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