要说马拉车算法，必须说说这道题，查找最长回文子串，马拉车算法是其中一种解法，狠人话不多，直接往下看：

题目描述

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

例子

示例 1：
输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出："bb"

示例 3：
输入：s = "a"
输出："a"

示例 4：
输入：s = "ac"
输出："a"

马拉车算法

这是一个奇妙的算法，是1957年一个叫Manacher的人发明的，所以叫Manacher‘s Algorithm,主要是用来查找一个字符串的最长回文子串，这个算法最大的贡献是将时间复杂度提升到线性，前面我们说的动态规划的时间复杂度为 O(n²)。

前面说的中心拓展法，中心可能是字符也可能是字符的间隙，这样如果有 n 个字符，就有 n+n+1 个中心：

为了解决上面说的中心可能是间隙的问题，我们往每个字符间隙插入”#“,为了让拓展结束边界更加清晰，左边的边界插入”^“,右边的边界插入 "$":

S 表示插入"#","^","$"等符号之后的字符串，我们用一个数组P表示S中每一个字符能够往两边拓展的长度:

比如 P[8] = 3，表示可以往两边分别拓展3个字符,也就是回文串的长度为 3，去掉 # 之后的字符串为aca：

P[11]= 4，表示可以往两边分别拓展4个字符，也就是回文串的长度为 4，去掉 # 之后的字符串为caac：

假设我们已经得知数组P，那么我们怎么得到回文串？

用 P 的下标 index ，减去P[i]（也就是回文串的长度），可以得到回文串开头字符在拓展后的字符串 S 中的下标，除以2，就可以得到在原字符串中的下标了。

那么现在的问题是：如何求解数组P[i]

其实,马拉车算法的关键是：它充分利用了回文串的对称性，用已有的结果来帮助计算后续的结果。

假设已经计算出字符索引位置 P 的最大回文串，左边界是P_L，右边界是P_R：

那么当我们求因为一个位置 i 的时候，i 小于等于 P_R,其实我们可以找到 i 关于 P 的对称点 j:

那么假设 j 为中心的最长回文串长度为 len，并且在 P_L 到 P 的范围内，则 i 为中心的最长回文串也是如此：

以 i 为中心的最长回文子串长度等于以 j 为中心的最长回文子串的长度

但是这里有两个问题：

• 前一个回文字符串P，是哪一个？
• 有哪些特殊情况？特殊情况怎么处理？

(1) 前一个回文字符串 P，是指的前面计算出来的右边界最靠右的回文串，因为这样它最可能覆盖我们现在要计算的 i 为中心的索引，可以尽量重用之前的结果的对称性。

也正因为如此，我们在计算的时候，需要不断保存更新 P 的中心和右边界，用于每一次计算。

(2) 特殊情况其实就是当前 i 的最长回文字符串计算不能再利用 P 点的对称，例如：

1. 以 i 的回文串的右边界超出了 P 的右边界 P_R:

这种情况的解决方案是：超过的部分，需要按照中心拓展法来一一拓展。

2. i 不在 以 P 为中心的回文串里面，只能按照中心拓展法来处理。

具体的代码实现如下：

    // 构造字符串
    public String preProcess(String s) {
        int n = s.length();
        if (n == 0) {
            return "^$";
        }
        String ret = "^";
        for (int i = 0; i < n; i++)
            ret = ret + "#" + s.charAt(i);
        ret = ret + "#$";
        return ret;
    }

    // 马拉车算法
    public String longestPalindrome(String str) {
        String S = preProcess(str);
        int n = S.length();
        // 保存回文串的长度
        int[] P = new int[n];
        // 保存边界最右的回文中心以及右边界
        int center = 0, right = 0;
        // 从第 1 个字符开始
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            // 找出i关于前面中心的对称
            int mirror = 2 * center - i;
            if (right > i) {
                // i 在右边界的范围内，看看i的对称点的回文串长度，以及i到右边界的长度，取两个较小的那个
                // 不能溢出之前的边界，否则就得中心拓展
                P[i] = Math.min(right - i, P[mirror]);
            } else {
                // 超过范围了，中心拓展
                P[i] = 0;
            }

            // 中心拓展
            while (S.charAt(i + 1 + P[i]) == S.charAt(i - 1 - P[i])) {
                P[i]++;
            }

            // 看看新的索引是不是比之前保存的最右边界的回文串还要靠右
            if (i + P[i] > right) {
                // 更新中心
                center = i;
                // 更新右边界
                right = i + P[i];
            }

        }

        // 通过回文长度数组找出最长的回文串
        int maxLen = 0;
        int centerIndex = 0;
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            if (P[i] > maxLen) {
                maxLen = P[i];
                centerIndex = i;
            }
        }
        int start = (centerIndex - maxLen) / 2;
        return str.substring(start, start + maxLen);
    }

至于算法的复杂度，空间复杂度借助了大小为n的数组，为O(n)，而时间复杂度，看似是用了两层循环，实则不是 O(n²)，而是 O(n)，因为绝大多数索引位置会直接利用前面的结果以及对称性获得结果，常数次就可以得到结果，而那些需要中心拓展的，是因为超出前面结果覆盖的范围，才需要拓展，拓展所得的结果，有利于下一个索引位置的计算，因此拓展实际上较少。