关系代数之连接 (Join)和除(Division)
数据库技术中这两个概念，对初学者而言，理解比较困难，本文对此进行深入浅出的解释。
连接 (Join，联接)
定义：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。
关系代数的“连接”的等价定义还有许多，如：连接（join，联接）是从两个分别为n， m目的关系R和S的广义笛卡尔积中选取满足给定条件F的元组组成新的关系称为R和S的连接，记作
其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性列，θ是算术比较符（>，≥，<，≤，=，≠）。
理解：从笛卡尔积中选择满足一定条件的部分行。
说明：
① 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接：等值连接(equi-join)和自然连接(Natural join)。
② θ为“＝”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。即等值连接为：
③ 自然连接（Natural join）是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重复的属性去掉。即若R和S具有相同的属性组B，则自然连接可记作：
自然连接（Natural Join）是一种特殊而常用的连接。若R和S具有相同名的属性组，且连接条件为R和S中两关系所对应的同名属性列的值相等，则称为自然连接。对于自然连接，无须标明条件表达式F，在结果中要把重复的属性去掉。
例：有R和S两个关系，如下图：
查询关系R中属性C小于关系S中属性E的连接。
查询关系R中属性B与关系S中属性B相等的相等连接。
查询关系R中属性B与关系S中属性B相等的自然连接。
除(Division)
定义：给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X, Y, Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。记作：
其中Yx为x在R中的象集，
。
关系代数的“除”的等价定义还有许多，但本质相同。例如，有一种比较通俗的说法是：给定关系R（x，y）与S（z）其中x，y，z为属性集（也可为单属性）,R中的y和S中的z是同名的属性（集）也可以有不同的属性名， 但必须出自相同的域集。在求解R÷S时，对R按x的值的分组，然后检查每一组，如某一组中的y包含S中全部的z，则取该组中的x的值作为关系P中的一个元组， 否则不取。R÷S的商等于关系P。
例1、 设关系R, S如下图，计算R÷S的结果。
解：在关系R中，A可以取四个值{a1, a2, a3, a4}。其中：a1的象集为{(b1,c2), (b2,c3), (b2,c1)} ； a2的象集为{(b3,c7), (b2,c3)} ； a3的象集为{(b4,c6)} ； a4的象集为{(b6,c6)} 。
S在(B,C)上的投影为{(b1,c2), (b2,c3), (b2,c1)}
显然只有a1的象集包含S在(B,C)属性组上的投影，所以R÷S={a1}。
例2、关系如下，计算R÷S
R: A B C D S: C D
1 2 3 4 3 4
7 8 5 6 5 6
7 8 3 4 4 2
1 2 5 6
1 2 4 2
7 8 4 2
解：在关系R中，{A,B}可以取四个值{(1,2), (7,8), (1,2)}。其中：(1,2)的象集为{(3,4), (5,6), (4,2)} ； (7,8)的象集为{(5,6), (3,4), (4,2)} ； (1,2)的象集为{(5,6), (4,2)}
S在(C,D)上的投影为{(3,4), (5,6), (4,2)}
显然只有(1,2)和(7,8)的象集包含S在(B,C)属性组上的投影，所以R÷S是：
A B
1 2
7 8
