二分查找应用：寻找峰值
本文涉及的基础知识点
二分查找算法合集
题目
长度为n的数组nums，请返回任意一峰值的索引。符合以下条件之一i便是峰值的索引。
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n等于1 |
i等于0 |
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n>1 |
i等于0 |
nums[i] >nums[i+1] |
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n>1 |
i等于n-1 |
nums[i] > nums[i-1] |
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0<i<n-1 |
nums[i]>nums[i-1] |
nums[i]>nums[i+1]
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题目保证nums[i]不等于nums[i+1]。
2023年11月14整补
有读者反应看不懂，感谢他的建议，特增补如下。
定义
原始数组的连续区域称为子数组。如果一个子数组的首元素在原始数组的索引为i，尾元素在原始数组的索引为j，则用nums[i,j]表示此子数组，也可以用nums[i,j+1)表示。如果nums[i,j]同时符合以下两个条件，则是好子数组。
一，i为0或nums[i]>nums[i-1]。
二，j为n-1或nums[j]>nums[j+1]
推论
一，如果好子数组nums[i,j]的长度为1，则i就是峰值。
二，如果好子数组nums[i,j]的长度大于1，则从nums[i,j]找出一个比nums[i,j]短的好子数组nums[i1，j1]。
三，由于长度不断变短，长度一定会变为1。
举例
1 2
1 2 =>2 (1不是好子数组 2是，长度降为1结束)
2 1
2 1 =>2 (2是好子数组 ，1不是,长度降为1结束)
1 2 3
1 2 3 => 2 3(1不是好子数组，2 3是)=> 3(3是好数组长度降为1结束)
3 2 1
1 2 3 => 3
1 3 2
1 3 2 => 3 2 => 3
1到4
1 2 3 4 => 3 4 => 4
1 2 4 3 => 4 3 => 4
1 3 2 4=> 1 3 => 3
1 3 4 2 => 4 2 => 4
1 4 2 3=> 1 4=> 4
1 4 3 2=> 1 4=> 4
...
2 4 1 3 => 2 4 => 4
其它
1 2 3 4 5 6 7 8 => 5 6 7 8 => 7 8 => 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1 => 9 8 7 6 => 9 8 = > 9
1 3 5 7 9 8 6 4 2 => 9 8 6 4 2 = > 9 8 => 9
总结
将好子数组nums[i,j] 分成左右两个子数组nums[i,mid)和nums[mid,j]
如果nums[mid]> nums[mid-1] 则nums[mid,j]是好子数组
否则 nums[i,mid)是好子数组
分析
假定：
nums[left,r)符合nums[left]>nums[left-1]，且nums[r-1]>nums[r]。显然初始情况nums[0,n)符合。
推论一：如果[left,r)的长度为1，则left就是返回的索引。
推论二：假定left < mid<r。如果mid[mid] > mid[mid-1],则nums[mid,r)也符合假定。如果mid[mid] < mid[mid-1]，则nums[left,mid)也符合假定。
推论三：推论二也可以也可以理解成分别抛弃[left,mid)和[mid,r)。令mid = left+(r-left)/2，由于r-left>=2，所以left<mid<r。也就是抛弃的子数组不会为空。也就是数组不断变短。等长度为1结束。
时间复杂度
由于每次抛弃一半，所以需要抛弃logn次。故时间复杂度O(logn)
核心代码
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums) {
int left = 0, r = nums.size();
while (r - left > 1)
{
const int mid = left + (r - left) / 2;
if (nums[mid] > nums[mid - 1])
{
left = mid;
}
else
{
r = mid;
}
}
return left;
}
};
测试用例
int main()
{
Solution slu;
vector<int> nums = { 1,2,3,4 };
int res = slu.findPeakElement(nums);
assert(3 == res);
nums = { 4,3,2,1 };
res = slu.findPeakElement(nums);
assert(0 == res);
nums = { 2,5,3,1 };
res = slu.findPeakElement(nums);
assert(1 == res);
}
