时间序列分析是一种基于时间顺序对数据进行建模和分析的统计方法，广泛应用于金融、经济、气象等领域。通过时间序列分析，可以预测未来的趋势和变化，识别周期性行为。本章将介绍时间序列的基本概念、平稳性分析、ARIMA模型的构建方法，以及在Matlab中的应用。

8.1 确定性时间序列分析方法

时间序列分析的第一步是确定时间序列的特性。时间序列可以分为确定性成分（如趋势、季节性）和随机成分。确定性时间序列分析方法通过识别并分离出这些固定模式来进行建模。

• 趋势分解：趋势是时间序列数据中的长期上升或下降趋势，通常使用移动平均法或多项式拟合来提取。

• 季节性分量：季节性分量是指时间序列中周期性的波动，通常与某些时间周期相关，如年度、季度或月度。

Matlab代码示例：移动平均法提取趋势

% 生成样本数据（模拟时间序列）
t = 1:50;
y = 0.05 * t + sin(2 * pi * t / 12) + 0.5 * randn(1, 50);

% 计算移动平均
window_size = 5;
y_ma = movmean(y, window_size);

% 绘制结果
figure;
plot(t, y, 'o-', t, y_ma, '-');
xlabel('时间');
ylabel('值');
title('移动平均法提取时间序列趋势');
legend('原始数据', '移动平均趋势');

在上述代码中，我们生成了一组包含趋势和随机成分的模拟时间序列数据，并使用movmean函数计算移动平均以提取趋势。

8.2 平稳时间序列模型

平稳性是时间序列分析中的一个关键特性。一个时间序列被称为平稳的，当其均值和方差不随时间变化，并且其自协方差仅依赖于时间滞后。

• 差分方法：对于非平稳时间序列，可以通过差分法使其平稳。

• 单位根检验（ADF检验）：通过统计检验来确定序列是否具有单位根，从而判断是否平稳。

Matlab代码示例：差分法与ADF检验

% 生成非平稳时间序列数据
t = 1:50;
y = 0.1 * t + randn(1, 50);

% 差分处理
dy = diff(y);

% 使用adftest函数进行单位根检验
[h, pValue] = adftest(y);

% 输出ADF检验结果
if h == 1
    fprintf('序列是平稳的，p值为：%.3f\n', pValue);
else
    fprintf('序列是非平稳的，p值为：%.3f\n', pValue);
end

在此代码中，生成了一个非平稳的时间序列并使用差分法对其进行了平稳化处理，同时使用adftest函数进行单位根检验，以判断原始序列是否平稳。

8.3 时间序列的Matlab相关工具箱及命令

Matlab提供了丰富的时间序列分析工具箱，其中包含许多用于建模、预测和诊断时间序列的方法和函数。例如：

• tseries：用于创建和操作时间序列数据。

• arima：用于建立和估计ARIMA模型。

• forecast：用于根据模型进行时间序列的预测。

Matlab代码示例：ARIMA模型的建立

% 生成模拟时间序列数据
y = idinput(50, 'rgs');

% 创建ARIMA(1,1,1)模型
model = arima(1, 1, 1);

% 拟合模型
fit = estimate(model, y');

% 预测未来10个时间点
[y_forecast, y_mse] = forecast(fit, 10);

% 绘制结果
figure;
plot(1:50, y, 'b', 51:60, y_forecast, 'r');
xlabel('时间');
ylabel('值');
title('ARIMA模型预测');
legend('原始数据', '预测值');

在上述代码中，我们使用arima函数建立了一个ARIMA(1,1,1)模型，并使用estimate函数对模型进行拟合，最后使用forecast函数进行未来时间点的预测。

8.4 ARIMA序列与季节性序列

ARIMA模型是时间序列分析中的经典模型之一，它结合了自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分，用于处理平稳时间序列的数据建模和预测。

• AR（自回归）：当前值与之前值的线性组合。

• I（差分）：用于使非平稳数据平稳化。

• MA（移动平均）：当前值与过去白噪声项的线性组合。

对于具有季节性变化的时间序列，可以使用SARIMA模型来捕捉周期性波动。

Matlab代码示例：季节性ARIMA模型

% 生成模拟季节性时间序列数据
t = 1:100;
y = sin(2 * pi * t / 12) + 0.5 * randn(1, 100);

% 创建SARIMA(1,1,1)(1,0,0)[12]模型
model = arima('ARLags', 1, 'D', 1, 'MALags', 1, 'Seasonality', 12, 'SARLags', 1);

% 拟合模型
fit = estimate(model, y');

% 预测未来12个时间点
[y_forecast, y_mse] = forecast(fit, 12);

% 绘制结果
figure;
plot(1:100, y, 'b', 101:112, y_forecast, 'r');
xlabel('时间');
ylabel('值');
title('季节性ARIMA模型预测');
legend('原始数据', '预测值');

该代码展示了如何使用Matlab中的arima函数建立一个季节性ARIMA模型，并进行数据的预测。通过引入季节性参数，我们可以捕捉时间序列中的周期性行为。

习题 8

在第八章结束后，提供了一些相关的习题，帮助读者深入理解时间序列分析方法。习题8包括：

1. 移动平均法：对一组时间序列数据使用移动平均法提取趋势，并在Matlab中实现。

2. ARIMA模型：对给定的时间序列数据建立ARIMA模型，并预测未来的趋势。

3. 季节性分析：使用SARIMA模型对一组季节性时间序列数据进行建模和预测。

通过这些习题，读者可以进一步掌握时间序列分析在实际中的应用，以及如何利用Matlab工具进行时间序列数据的建模和预测。

总结

第八章介绍了时间序列分析的基本概念及其常见方法，包括确定性时间序列分析、平稳时间序列模型、ARIMA和季节性ARIMA模型等。时间序列分析在金融、经济等领域中有着广泛的应用，可以帮助我们对未来进行预测并理解数据的变化趋势。通过本章的学习，读者可以掌握时间序列分析的基本原理和方法，并利用Matlab进行时间序列的建模和预测，为数据驱动的决策提供支持。