下面直接上图吧，稍后解释关于mod和remainder以及负数求余求模的区别。

mod是模运算，remainder是求余运算，如果被除数是正整数，mod和remainder的结果没区别。mod运算除数只能为正数。

取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。

假设有式子a ÷ b = c ··· r

当a和b符号一致时的情况：a，b均大于0时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，r >= 0。a，b均小于0时，只能进行求余运算，因为求模运算除数b必须为正，r也是大于等于0。

当a和b符号不一致时，c不一样，r也不一样。

求余运算结果，r不为0时， r 的符号和a一致。即余数符号和被除数符号必须相同。

求模运算结果，r不为0时，r 的符号和b一致，而因为求模运算时，b必须大于0，所以r一定大于等于0，即模运算的结果一定是非负数。

我们来从java的BigInteger源码来看看实现，当b小于等于0时会出现什么情况，假设这里r = a.mod(b)，那么b必须为正数，否则报异常

Exception in thread "main" java.lang.ArithmeticException: BigInteger: modulus not positive

来看mod源码：

public BigInteger mod(BigInteger m) {
        // signum是此BigInteger的符号：-1表示负数，0表示零，或1表示正数。
        // 请注意，BigInteger零必须具有0的符号。这对于确保每个BigInteger值只有一个表示是必要的。
        if (m.signum <= 0)
            throw new ArithmeticException("BigInteger: modulus not positive");

        BigInteger result = this.remainder(m);
        return (result.signum >= 0 ? result : result.add(m));
        // 可以看出mod和remainder的区别就在于，mod的模必须为正，否则异常，并且取余的值小于0点话还要加上模数m
    }

比如   -14 ÷ 3 = -4 ··· -2（余数符号和被除数符号必须相同）

余数就是-2，这里如果是remainder取余运算，-14 remainder 3 = -2，结果是-2

如果是mod模运算，在remainder基础上判断正负，这里-2是负数，加上模数(可认为是除法的除数)，这里加上3，mod模运算结果就是1，-14 mod 3 = 1

-10 ÷ 3 = -3 ··· -1

余数就是-1，这里如果是remainder取余运算，-10 remainder 3 = -1，结果是-1

如果是mod模运算，在remainder基础上判断正负，这里-1是负数，加上模数(可认为是除法的除数)，这里加上3，mod模运算结果就是2，-10 mod 3 = 2

7 ÷ -3 = -2 ··· 1

余数是1，除数是负数，这里只能取模运算remiander 7 remainder -3 = 1，结果是1。但是这里余数居然大于除数了！！！！

所以可以这么说，我们小学所学的余数一定小于除数这个结论是针对除数为正数而言。并且由前两个例子也可以看出，取模运算的值也一定小于除数，前提条件是除数为正才能取模。

如果被除数是0，不管是取模还是取余结果都是0。

0%-5=0

0mod3=0

0remainder-3=0

......

如果不是大整数，只是普通的int型，比如System.out.println(5 % -3);

打印出来是2

所以java中，%是求余运算，而不是取模运算。

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。