线段树是为区间更新和区间查询而生的数据结构，旨在快速解决区间问题。
一般来说，线段树是不会加节点的，也不支持动态添加节点。线段树也是二叉树的一种，不过它的节点是以一个区间来定义节点的。具有一个单一区间的就是叶子节点。所以线段树，本质上就是一棵区间树。
我们在查找的时候，只需要找出结果区间由哪些子区间构成即可。
实现代码
首先定义出基础的结构
public class SegmentTree {
private Integer value;
private Integer maxValue;
private Integer l;
private Integer r;
private SegmentTree leftChild;
private SegmentTree rightChild;
}
l和r用来唯一刻画这个区间。然后其他的内容，与标准的二叉树没得任何区别。
建树过程
与二叉树建树没得区别，我们这里采用前序建树的方式进行。代码如下：
public static SegmentTree buildTree(int left, int right, int[] value) {
if (left > right) {
return null;
}
SegmentTree node = new SegmentTree();
node.setValue(value[left]);
node.setL(left);
node.setR(right);
if (left == right) {
// TODO: 2022/1/17 退出条件
node.setMaxValue(node.getValue());
return node;
}
int mid = (left + right) >>> 1;
node.setLeftChild(buildTree(left, mid, value));
node.setRightChild(buildTree(mid + 1, right, value));
if (Objects.isNull(node.getLeftChild())) {
if (Objects.isNull(node.getRightChild())) {
node.setMaxValue(node.getValue());
} else {
node.setMaxValue(node.getRightChild().getMaxValue());
}
} else {
if (Objects.isNull(node.getRightChild())) {
node.setMaxValue(node.getLeftChild().getMaxValue());
} else {
node.setMaxValue(Math.max(node.getLeftChild().getMaxValue(),
node.getRightChild().getMaxValue()));
}
}
return node;
}
可以看见，这里的叶子节点判断条件就是 left == right。其他方面和二叉树没有任何区别。
查询区间最大值
public static Integer getMaxValue(SegmentTree segmentTree, int left, int right) {
if (Objects.isNull(segmentTree)) return null;
if (segmentTree.getL() == left && segmentTree.getR() == right) {
System.out.println("获取了区间 [" + left + "," + right + "] 的最大值" + segmentTree.getMaxValue());
return segmentTree.getMaxValue();
}
int segMid = (segmentTree.getL() + segmentTree.getR()) >>> 1;
if (segMid < left) {
return getMaxValue(segmentTree.getRightChild(), left, right);
}
if (segMid >= right) {
return getMaxValue(segmentTree.getLeftChild(), left, right);
}
// TODO: 2022/1/17 左半边答案
Integer leftMax = getMaxValue(segmentTree.getLeftChild(), left, segMid);
Integer rightMax = getMaxValue(segmentTree.getRightChild(), segMid + 1, right);
if (Objects.isNull(leftMax)) {
if (Objects.isNull(rightMax)) {
return -100000;
} else {
return rightMax;
}
} else {
if (Objects.isNull(rightMax)) {
return leftMax;
} else {
return Math.max(leftMax, rightMax);
}
}
}
从上面的代码分析，设当前节点的区间为【L,R】，那么对于区间[l,r]的最大值来说，就需要进行分类讨论，如果LR的区间中点Mid在lr区间的左边，那么max(lr) = max(右子树,l,r)；如果LR的区间中点在lr区间的右边，则max(lr) = max(左子树,l,r)；如果Mid在lr区间里面，则 max(lr) = max(左子树,l,mid) 和 max(右子树,mid+1,r)中的较大值。
下面我们来看看测试用例和运行结果：
public static void main(String[] args) {
int[] a = new int[]{2, 5, 4, 7, 6, 0, 1, -1, 2, 3, 6, 7, 0, 2, 9, 8, 5, 4, 7, 2};
SegmentTree segmentTree = buildTree(0, a.length - 1, a);
System.out.println(getMaxValue(segmentTree, 0, 16));
}
结果如下
获取了区间 [0,9] 的最大值7
获取了区间 [10,14] 的最大值9
获取了区间 [15,16] 的最大值8
9
获取区间和
现在需要对原来的建树过程进行改造，首先，在基础结构中添加sum字段
public class SegmentTree {
private Integer value;
private Integer maxValue;
private Integer sum;
private Integer l;
private Integer r;
private SegmentTree leftChild;
private SegmentTree rightChild;
}
然后在建树方法中，添加对和的维护
public static SegmentTree buildTree(int left, int right, int[] value) {
if (left > right) {
return null;
}
SegmentTree node = new SegmentTree();
node.setValue(value[left]);
node.setL(left);
node.setR(right);
if (left == right) {
// TODO: 2022/1/17 退出条件
node.setMaxValue(node.getValue());
node.setSum(node.getValue());
return node;
}
int mid = (left + right) >>> 1;
node.setLeftChild(buildTree(left, mid, value));
node.setRightChild(buildTree(mid + 1, right, value));
if (Objects.isNull(node.getLeftChild())) {
if (Objects.isNull(node.getRightChild())) {
node.setMaxValue(node.getValue());
node.setSum(node.getValue());
} else {
node.setMaxValue(node.getRightChild().getMaxValue());
node.setSum(node.getRightChild().getSum());
}
} else {
if (Objects.isNull(node.getRightChild())) {
node.setMaxValue(node.getLeftChild().getMaxValue());
node.setSum(node.getLeftChild().getSum());
} else {
node.setMaxValue(Math.max(node.getLeftChild().getMaxValue(),
node.getRightChild().getMaxValue()));
node.setSum(node.getLeftChild().getSum() + node.getRightChild().getSum());
}
}
return node;
}
然后获取总和
public static Integer getSum(SegmentTree segmentTree, int left, int right) {
if (Objects.isNull(segmentTree)) return null;
if (segmentTree.getL() == left && segmentTree.getR() == right) {
System.out.println("获取了区间 [" + left + "," + right + "] 的和" + segmentTree.getSum());
return segmentTree.getSum();
}
int segMid = (segmentTree.getL() + segmentTree.getR()) >>> 1;
if (segMid < left) {
return getSum(segmentTree.getRightChild(), left, right);
}
if (segMid >= right) {
return getSum(segmentTree.getLeftChild(), left, right);
}
// TODO: 2022/1/17 左半边答案
Integer leftSum = getSum(segmentTree.getLeftChild(), left, segMid);
Integer rightSum = getSum(segmentTree.getRightChild(), segMid + 1, right);
if (Objects.isNull(leftSum)) {
if (Objects.isNull(rightSum)) {
return segmentTree.getSum();
} else {
return rightSum;
}
} else {
if (Objects.isNull(rightSum)) {
return leftSum;
} else {
return leftSum + rightSum;
}
}
}
测试程序和结果如下：
public static void main(String[] args) {
int[] a = new int[]{2, 5, 4, 7, 6, 0, 1, -1, 2, 3, 6, 7, 0, 2, 9, 8, 5, 4, 7, 2};
SegmentTree segmentTree = buildTree(0, a.length - 1, a);
System.out.println(getSum(segmentTree,0,3));
}
获取了区间 [0,2] 的和11
获取了区间 [3,3] 的和7
18
单点更新
/**
* 这里的left == right
*
* @param segmentTree
* @param left
* @param right
* @param value
*/
public static void update(SegmentTree segmentTree, int left, int right, int value) {
if (segmentTree.getL() == left && segmentTree.getR() == right) {
segmentTree.setValue(value);
segmentTree.setMaxValue(value);
segmentTree.setSum(value);
return;
}
int mid = (segmentTree.getL() + segmentTree.getR()) >>> 1;
if (mid >= left) {
update(segmentTree.getLeftChild(), left, right, value);
}
if (mid < left) {
update(segmentTree.getRightChild(), left, right, value);
}
segmentTree.setMaxValue(Math.max(segmentTree.getLeftChild().getMaxValue(),segmentTree.getRightChild().getMaxValue()));
segmentTree.setSum(segmentTree.getLeftChild().getSum() + segmentTree.getRightChild().getSum());
}
更新的时候也是利用递归的方法，不断从左右节点中寻找到需要被更新的区间，同时更新上级节点的最新值。
总结
可以按需进行延伸，记住一点，线段树是以区间为维度的二叉树，或者说，是以二维维度进行刻画的二叉树，普通二叉树只有一维。这样一来，我们在计算多维度的值的时候，其实也可以利用这样的方式构建线段树（二维树，三维树，n维树）。不管几维树，找到结束状态和下级子状态就是关键中的关键。典型的方法就是分类讨论，前期不用怕分得过细，细了可以进行合并。
