第二章 进制
进制是计算机系统的核心基础之一，它定义了数据的表示方式和操作规则。计算机以二进制为核心进行数据存储与计算，但我们日常使用的是十进制。在学习计算机架构时，理解不同进制的转换和表示是必不可少的基础技能。本文将详细探讨常见的进制系统，包括十进制、二进制和十六进制的转换方法，以及数据在计算机中的表示方式。
1. 进制的基本概念
进制系统是指在一个数位系统中，使用多少个不同的符号来表示数值。每一种进制都有其特定的基数（Radix），代表这个进制系统中的数字范围。例如，十进制的基数是 10，因为它使用 0-9 十个数字来表示；二进制的基数是 2，使用 0 和 1；而十六进制的基数是 16，使用 0-9 和 A-F 共 16 个符号来表示。
不同的进制在不同场景下具有各自的优劣。了解如何在不同进制间进行转换对于理解计算机数据的表示和运算非常关键。
2. 常见进制及其转换方法
2.1 十进制
十进制（Decimal）是我们最常用的数字系统，基数为 10，数值范围从 0 到 9。每个数位代表一个幂次方（即 10 的指数），如 123 表示
。
2.2 二进制
二进制（Binary）是计算机系统的基础，使用 0 和 1 两个数字进行表示。计算机之所以使用二进制，是因为它的物理实现简单，电路中的高电平和低电平可以对应 1 和 0。每一位二进制数表示 2 的幂次方。例如，二进制数 1011 表示：
2.3 十六进制
十六进制（Hexadecimal）是另一种常见的进制系统，特别是在计算机领域中被广泛使用。它的基数为 16，使用 0-9 和 A-F 这 16 个符号来表示数值，其中 A 代表 10，B 代表 11，依次类推到 F 代表 15。十六进制能够简化二进制数的表示，每 4 位二进制数可以用 1 位十六进制数来表示。例如，二进制数 1101 0010 可以表示为十六进制的 D2。
2.4 进制之间的转换
2.4.1 十进制转二进制
将十进制数转换为二进制数的过程可以通过短除法来实现，具体步骤如下：
- 用 2 除原始十进制数，取商和余数。
- 将商继续除以 2，直到商为 0，余数为最后结果。
- 将所有余数倒序排列，即为对应的二进制数。
例如，将十进制数 13 转换为二进制：
倒序排列余数，得到二进制数：1101。
2.4.2 二进制转十进制
将二进制数转换为十进制数的过程非常简单，只需将每一位二进制数乘以对应的 2 的幂次方，然后求和。例如，二进制数 1101 转换为十进制：
2.4.3 十进制转十六进制
将十进制数转换为十六进制的过程类似于二进制转换，用短除法，但这次使用 16 作为除数。例如，将十进制数 255 转换为十六进制：
因此，十进制 255 对应的十六进制为 FF。
2.4.4 十六进制转二进制
十六进制转二进制相对直接，每位十六进制数可以直接转换为 4 位二进制。例如，十六进制数 1F 对应的二进制数为：
因此，1F 的二进制表示为 0001 1111。
3. 数据的表示方法
在计算机中，所有数据最终都以二进制形式存储和处理。数据的表示方式取决于其类型，例如整数、浮点数、字符等。
3.1 整数表示
整数可以使用无符号整数和有符号整数来表示。
- 无符号整数：只表示非负数，所有的位数都用于表示数值。例如，8 位无符号二进制数的范围是 0 到 255。
- 有符号整数：使用最高位表示符号位，0 表示正数，1 表示负数。常见的有符号表示方法是补码表示，它使得加法和减法操作可以使用同一套电路。
3.2 浮点数表示
浮点数用于表示带小数的数值，采用科学计数法的方式存储，即通过尾数和指数来表示。IEEE 754 标准是浮点数表示的国际标准，它规定了浮点数的格式，其中包括**单精度（32位）和双精度（64位）**表示方法。
例如，单精度浮点数表示：
- 符号位（1 位）：表示正负号。
- 指数位（8 位）：表示数值的指数部分。
- 尾数位（23 位）：表示数值的有效位。
3.3 字符表示
计算机中的字符通常使用ASCII或Unicode编码来表示。ASCII 使用 7 位或 8 位二进制数表示英文字母、数字和特殊符号。而 Unicode 则扩展了字符集，可以表示全世界几乎所有的字符和符号，常用的编码格式有 UTF-8 和 UTF-16。
结语
进制是计算机系统中最基础的知识之一，理解不同进制之间的转换和数据表示方式对于设计高效、稳定的系统至关重要。通过掌握十进制、二进制和十六进制的转换方法，以及整数、浮点数和字符的表示形式，你将能够更深入地理解计算机的工作原理，为后续学习架构设计打下坚实的基础。
