这个马拉车算法Manacher‘s Algorithm是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，由一个叫Manacher的人在1975年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性，这是非常了不起的。对于回文串想必大家都不陌生，就是正读反读都一样的字符串，比如 "bob", "level", "noon" 等等，那么如何在一个字符串中找出最长回文子串呢，可以以每一个字符为中心，向两边寻找回文子串，在遍历完整个数组后，就可以找到最长的回文子串。但是这个方法的时间复杂度为O(n*n)，并不是很高效，下面我们来看时间复杂度为O(n)的马拉车算法。

由于回文串的长度可奇可偶，比如"bob"是奇数形式的回文，"noon"就是偶数形式的回文，马拉车算法的第一步是预处理，做法是在每一个字符的左右都加上一个特殊字符，比如加上'#'，那么

bob    -->    #b#o#b#

noon    -->    #n#o#o#n# 

这样做的好处是不论原字符串是奇数还是偶数个，处理之后得到的字符串的个数都是奇数个，这样就不用分情况讨论了，而可以一起搞定。接下来我们还需要和处理后的字符串t等长的数组p，其中p[i]表示以t[i]字符为中心的回文子串的半径，若p[i] = 1，则该回文子串就是t[i]本身，那么我们来看一个简单的例子：

# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们还需给开头加上个非#号字符'$'，结尾加一个'@'。通过p数组我们就可以找到其最大值和其位置，就能确定最长回文子串了，那么下面我们就来看如何求p数组，需要新增两个辅助变量mx和id，其中id为最大回文子串中心的位置，mx是回文串能延伸到的最右端的位置（很多文章都这样说，其实并不是，根据下面的代码就能看出来，mx应该是已找到的回文子串所能到达的最右端，而id是最右端回文子串对应的中心），这个算法的最核心的一行如下：

p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

可以这么说，这行要是理解了，那么马拉车算法基本上就没啥问题了，那么这一行代码拆开来看就是

如果mx > i, 则 p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i)

否则， p[i] = 1

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

参见如下实现代码：

    public static void main(String[] args) {
        String str = "abcde";
        Scanner s = new Scanner(System.in);
        while (true) {
            System.out.print("请输入字符串：");
            String line = s.nextLine();
            if (line.equals("exit")) break;
            else {
                System.out.println("最大回文子串: "+Manacher(line));
            }
        }
 
    }
    public static String Manacher(String s) {
        // Insert '#'
        String t = "$#";
        for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {
            t += s.charAt(i);
            t += "#";
        }
        t += "@";
        // Process t
        int[] p = new int[t.length()];;
        int mx = 0, id = 0, resLen = 0, resCenter = 0;
        for (int i = 1; i < t.length()-1; ++i) {
            p[i] = mx > i ? Math.min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
            while (((i - p[i])>=0) && ((i + p[i])<t.length()-1) && (t.charAt(i + p[i]) == t.charAt(i - p[i])))
                ++p[i];
            if (mx < i + p[i]) {
                mx = i + p[i];
                id = i;
            }
            if (resLen < p[i]) {
                resLen = p[i];
                resCenter = i;
            }
        }
        return s.substring((resCenter - resLen) / 2, (resCenter - resLen) / 2 + resLen-1);
    }