什么是检查者悖论：
观察的角度不同，得出的统计结论也不同。有时又称为"候车悖论", "等待时间悖论"
为了形象说明，我们设计了一种模拟场景: 班级人数统计，来用实例说明这个问题
模拟场景: 班级人数统计
小明与小华要完成一个任务：统计学校中的 平均班级人数。但二人的实施方案不同：
1）小明找到了教务处老师，拿到了一份每班级人数统计名单。 于是他计算到了班级平均人数
, 其中N为班级数量。
2）小华则不同, 他选择去街头询问。小华在校园中随机询问了M人, 得到了M个数字, 每个数字即为该被询问的同学所在的班级人数。于是他计算到了班级平均人数
显然，二者的答案是不同的：
假设此学校一共2个班级: 一个90人，另一个10人。则小明计算结果： C^{mean} = (10 + 90) / 2 = 50人。
假设小华抽了10人，在随机抽样的情况下，大约9人属于班级1，1人属于班级2，小华计算结果 X^{mean} = (10*1 + 90*9) / 10 = 82人
原因初探
很明显, 结果出现了偏差。是什么导致了这种情况？其实，这就是"检查悖论"
每个班级人数不均衡情况下:
新问题提出 ================
这时，自然的，我们提出一个问题：如果只有小华的数据，如何得到真实的统计结果，即班级平均人数 ?
EM算法可以胜任这一问题：EM是一类算法， 在包含隐变量的情况下，可以估算模型参数。
下面以班级平均人数统计问题为例：
其中，Si是已知量，ki为参数，sigma为隐变量，ni是观测变量。
上代码：
import random
def print_dict(d:dict, title=""):
k = [ki for ki in d.keys()]
k.sort()
s = []
for ki in k:
s.append(str(ki) + ": " + str(d[ki]))
print(title, "{", "; ".join(s), "}")
### 1. 数据集生成：通过随机数================================================
# 1.1. 首先生成每班人数
classes = 20
classes = classes // 2 * 2
class_members = [random.randint(40, 50) for i in range(classes//2)] + \
[random.randint(100, 150) for i in range(classes//2)] \
class_dict = {} # 统计量: 人数为Ni的班级>共有多少个
for ci in class_members:
if ci in class_dict.keys(): class_dict[ci] += 1
else:class_dict[ci] = 1
# 1.2. 在街上抽学生(依据每班人数)
cy = random.choices(
population=class_members,
weights=[ci/sum(class_members) for ci in class_members], # 依概率抽样
k = 400 # 街头抽样人数：应尽可能保证所有班级都有抽到
)
asked_class_dict = {} # 统计量: 班级人数为Xi的人>共抽到了几个人
for cyi in cy:
if cyi in asked_class_dict.keys(): asked_class_dict[cyi] += 1
else:asked_class_dict[cyi] = 1
### 2. EM =====================================================================
# EM \theta _0 init
theta = {k: 1 for k in asked_class_dict.keys()}
# run iter: ------------------
run_i = 20
while run_i > 0:
run_i -= 1
# 1. E-step: 依照{\theta}^t, 求P( Z | X, {\theta}^t )
sigma = 0
for k, v in theta.items():
sigma += k * v
sigma = len(cy) / sigma
# 2. M-step: theta=argmax()
for k, v in theta.items():
theta[k] = round(asked_class_dict[k] / (k * v * sigma) * theta[k])
if theta[k] < 1: theta[k] = 1
### 3. result showing ==============================================================
print_dict(theta, "预测：{班级人数Ni: <人数为Ni的班级>共有多少个} \n\t")
print_dict(class_dict, "真实：{班级人数Ni: <人数为Ni的班级>共有多少个} \n\t")
N_class = 0
N_students = 0
for k, v in theta.items():
N_students += k * v
N_class += v
print("预测平均 = ", N_students / N_class)
print("真实平均 = ", sum(class_members)/classes )
print("街头抽样平均 = ", sum(cy)/len(cy))
